用天球星座测量地球表面经纬度的方法

用天球星座测量地球表面经纬度的方法

用天球星座测量地球表面经纬度的方法

中国古代有二十八宿的传说,二十八宿是将地球绕太阳旋转的黄道带附近的星座分成二十八个。春季依次出现的七个星座组成青龙星座。夏季依次出现的七个星座组成白虎星座。秋季依次出现的七个星座组成朱雀星座。冬季依次出现的的七个星座组成玄武星座。青龙星座分为七宿:角宿,亢宿,氐宿,房宿,心宿,尾宿,萁宿。它们组合在一起形成一个青龙的样子。白虎星座分为七宿：奎宿，娄宿，胃宿，昂宿，毕宿，觜宿，参宿。它们组合在一起形成一个白虎的样子。南方朱雀星座分为七宿：景宿，鬼宿，柳宿，星宿，张宿，翼宿，轸宿。它们组合在一起形成一个朱雀的样子。北方玄武星座分为七宿：斗宿，牛宿，女宿，虚宿，危宿，室宿，壁宿。它们组合在一起形成一个朱雀的样子。详细内容可参见东汉天文家张衡所著《灵宪》，《浑天仪图注》，《浑仪》。这些星座分布在地球黄道面附近。最佳观测位置位于黄道面附近。因为黄道面和赤道面的夹角是23.5°，所以最佳观测位置是北纬23.5°，或南纬23.5°。当你在北纬23.5°，或南纬23.5°观测二十八宿时,随着一年四季的变化，当太阳落山时，二十四宿分别从东边升起，西边落下。一年中只有一段时间出现一个星宿，二十四个星宿的出现时间把一年分成二十四个节气，每个节气出现一个星座。例如农历新年后角宿首先在夜晚的天空中，其他星宿依次出现，依次轸宿最后在冬天过年前出现在天空中。随着一年时间的变化，二十宿分别出现在你的头顶，这是因为当地球绕太阳延黄道面运动时，由于地球背面的阻挡，你只能观察到地球前面的星空。

北天中的北极星附近的星座形成紫微垣，它一年四季绕北极星旋转。在它的外面还有太微垣，天市垣。随着一年四季的变化它们轮流出现在北极星附近，它们绕北极星旋转。

同时，西方天文学将星座分成88个，这些星座随着一年四季的变化轮流出现在天空中。位于黄道面的十二个星座，随着一年四季轮流出现在天空中。

例如猎户座和它附近的天狼星只有在冬季是才出现在南天空中。人马座和它当中的南斗只有在夏季时才出现在南天空。在古希腊时代，天文学家托勒密将全天星座分为48个，详细内容可参见托勒密所著《天文学大成》。很多星座已经废弃。现在肉眼可见的恒星有7000多颗，这些恒星全都分布在地球周围，最远距离地球2000光年的太空中。它们组成了88个星座。人们把天空想象成一个球体，以地球的赤道面为天球赤道面，把天空中恒星在天球中所处的位置像经纬度一样分成赤经和赤纬。0度赤经就是地球在一年中春分时，0度经线在天球上对应的经线。其它赤经依次从0度经线开始按照±90度将天球分成±90度。0度赤纬就是地球在一年中春分时，0度纬线在天球上对应的纬线。其它赤经依次从0度纬线开始按照±90度将天球分成±90度。

因为在不同时间，不同经纬度观测星座，星座在天球中的位置都不同。所以通过星座在天空中的不同位置和观测时间就可以确定观测者所处的经纬度。观测安提诺座，约旦河座，双子座，半人马座，南十字座，天马座，牛宿，女宿在天球中所处的位置，还要知道观测的时间日期，就可以确定在北半球中观测者的经纬度。

例如下面笔者制作了一个观测猎户座和天狼星的天球仪。这天球仪的球面上刻画出了猎户座和天狼星的位置。天球在黄道面和赤道面，经度面，纬度面上呈三维转动。黄道面和赤道面的夹角时23.5度。赤道面有时间刻度，经度面有赤经刻度，纬度面有赤纬刻度。观察星星的时候，观察者把玻璃球面转动到观察者所处的时间上，当猎户座和天狼星出现在夜空时，转动天球仪玻璃透明球面使它上上面的猎户座和天狼星孔洞对准夜空中的猎户座和天狼星，让它们刚好投射到透明球面上的猎户座和天狼星空洞。就是说通过玻璃球面上面的孔洞刚好可以看见夜空中的猎户座和天狼星。这时天球仪玻璃球面在纬度盘，经度盘上面对准的刻度就是观察者所处的经纬度。人们可以利用望远镜通过天球仪球面上的空洞观察星星。有关资料可见网站

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链接：     50KM             D信号源

50KM            P          50KM

S`

B信号源                        C信号源

50KM

图1

如上图1所示, 飞机上四个电视机天线所在的位置可以近似看作一点S。飞机距地面的高度H。地球球面上的A,B,C，D四个点组成正方形信号源。这个正方形的边长是50KM，4个电视机天线的方向和垂直方向的夹角分别是α，β，γ，δ。第一个天线方向SA和SS`的夹角是α，第二个天线方向SB和SS`的夹角是β，第三个天线方向SC和SS`的夹角是γ，第四个天线方向SC和SS`的夹角是δ。当α=β=γ=δ=90°时，因为4个信号源组成的正方形的边长L是50KM，4个信号源A,B,C,D在地球球面所组成的曲面可以近似看成一个边长50KM的正方形，所以此时S点在地球上的投影是S`。所以此时正方形的中心点是P。飞机所处的S点在地球表面上的投影S`在4个信号源组成的正方形的中心点P上，S点的经纬度和S`点的经纬度相等，高度等于0。当α=β=γ=δ时，飞机所处的S点在地球表面上的投影S`在4个信号源组成的正方形的中心点P上，设S`点在地球的经度是0°，纬度是0°，那么此时S点的经度也是0°，纬度也是0°。

因为，S`C=√2L/2，所以，H=ctgγ*S`C，H=√2L*ctgγ/2，因为 α=β=γ=δ，同理可证，

H=√2L*ctgα/2，H=√2L*ctgβ/2，H=√2L*ctgδ/2，

飞机上的4个电视机天线组成的点S

S

x

A信号源      50KM             D信号源

A`

50KM            P`          50KM

P      B`                      S`

B信号源                        C信号源

50KM

图2

如上图2所示, 当α=β，γ=δ时, 设P点在地球的经度是0°，纬度是0°. S`是S在球面上的投影S。P点是正方形ABCD的中心点。PS`∥AD,PS`∥BC, 所以S`,S点的纬度和P点的纬度一样。AB=BC=CD=DA=50KM。SS`=H。A`是AS`和边CD的交点。P`是PS`和边CD的交点。B`是BS`和边CD的交点。因为，SS`⊥AS`，∠SAS`=α，所以，AS`=tgα*SS`，因为，∠ADA=90°，所以，

2      2       2

AA`    =AD    +A`D

因为，SS`⊥DS`，∠SDS`=δ，所以，DS`=tgδ*SS`，因为，∠D`P`S`=90°，

2      2       2

P`S`    =DS`     -DP`

2      2

P`S`=     (tgδ*SS`)     -DP`           (1)

PS`=PP`+P`S`，

2      2

PS`=PP`+     DS`    -DP`

2       2

PS`=PP`+    (tgδ*SS`)     -DP`

上式(1)中，天线4的角度δ可测量出来，飞机天线的高度可以从高度气压表测量出来。DP`等于正方形边长的一半25KM，PP`等于正方形边长的一半25KM，所以可以计算出PS`的距离，把这个距离转化为弧度就可以得到S`,S点的经度。

2       2       2

A`S`    =A`P`     +P`S`

因为AS`=AA`+A`S`

2       2               2        2

AS`=    AD    +A`D       +     A`P`     +P`S`

2       2               2        2

tgα*SS`=   AD    +A`D       +     A`P`     +P`S`         (3)

2       2

P`S`=    (tgδ*SS`)     -DP`              (1)

因为DA`P`在同一直线上，所以，

A`D+A`P`=DP`              (4)

又因为Q是正方形边长AB的中点，∠AQS=90°，

2       2      2

AS    =AQ    +QS

因为，∠SS`Q=90°，所以，

2       2      2

QS    =SS`    +QS`

2       2      2      2

AS    =AQ    +SS`    +QS`

因为，

SS`

AS =

cosα

SS`          2      2      2

=AQ    +SS`   +QS`

cosα

因为QS`=QP`+P`S`,所以,

SS`         2     2            2

=AQ   +SS`   +(QP`+P`S`)         (5)

cosα

把上面的（1）（3）（4）（5）组成一个四元一次方程组，如下所示

2       2               2        2

tgα*SS`=   AD    +A`D       +     A`P`     +P`S`         (3)

2       2

P`S`=    (tgδ*SS`)     -DP`              (1)

A`D+A`P`=DP`              (4)

SS`         2     2            2

=AQ   +SS`   +(QP`+P`S`)         (5)

cosα

在上面方程组中，角度α是天线A接收信号的最佳角度，可以测量出来。角度δ是天线D接收信号的最佳角度，可以测量出来。AD是信号源正方形的边长50KM，DP`是信号源正方形的边长的一半25KM，AQ是信号源正方形的边长的一半25KM，QP`是信号源正方形的边长50KM，SS`,A`D,A`P`,P`S`是未知变量，需要求解。

上面的方程可以改写为

2               2        2

tgα*SS`=   2500   +A`D       +     A`P`     +P`S`         (3)

2

P`S`=    (tgδ*SS`)     -625              (1)

A`D+A`P`=25             (4)

SS`            2            2

=625 +SS`   +(50+P`S`)         (5)

cosα

求得上面方程组的SS`就是飞机所处的高度，P`S`+PP`换算成弧度，就是飞机所处点S和正方形中心点的经度差，使用模拟计算机集成运放加减乘除电路建立公式，可以去除上面方程中的未知参数。因为其它两个天线的角度和这两个天线的角度相等，可以得到和上面类似的四元一次方程组。

南方

飞机上的6个电视机天线

S

δ              x

γ

β

α

A                         D          f    D`

东方                                  A`   c            S`

Q                F    P``     E                       西方

P      B`      d         e    S``

B             h     g      C       i

图3              北方

如上图3所示, 设P点在地球的经度是0°，纬度是0°。S`是S在球面上的投影S。

P点是正方形ABCD的中心点。PS``∥AD`,PS``和AB交于Q，和CD交于P``，4个电视机天线的方向和垂直方向的夹角分别是α，β，γ，δ。再放两个电视信号源在Q点和P``点，再用两个电视天线在飞机上接收这两个点发出的信号。测量这两个天线在最佳接收信号的位置和垂直方向的夹角为ε，ζ，上图说明的是飞机所处的S点在4个信号源组成的正方形的西方。飞机在信号源东方，北方，南方的情况和在西方的类似。AB=BC=CD=DA=50KM，SS`=H，C`S`∥CD, 作C`S`的延长线和AD的延长线交于D`点，AD`⊥C`D`，作DE⊥BS`，作CF⊥BS`，设∠DS`B=c，∠BS`C=d，∠CS`C`=e，∠D`S`D=f，∠BCS`=g，∠S`BC=h，∠S`CC`=i，所以，c+d+e+f=360°，g+h=360°，

1.下面求角c，

因为，DS`⊥SS`，所以，DS`=SS`*ctgδ，SS`就是飞机的高度，可以通过高度气压表测量得到。因为，BS`⊥SS`，所以，BS`=SS`*ctgβ，

因为，DE⊥BS`，所以，

2    2     2

BD  =BE  +DE

因为BD是信号源B和D的连线长度是70.71KM，

2      2

BD =    50    +50    ≈70.71

所以，

2    2

5000   =BE  +DE               (1)

2    2     2

DS`  =DE  +ES`                (2)

(1)-(2)得

2    2     2

5000-DS`  =BE   -ES`            (3)

因为B,E,S`在一条直线上，所以, BE+ES`=BS`,BE+ES`=SS`*ctgβ，

BE=SS`*ctgβ-ES`        (4)

将（4）代入(3)中得，

2              2      2

5000-(SS`*ctgδ)   =(SS`*ctgβ-ES`)    -ES`

2           2

5000-(SS`*ctgδ)   =(SS`*ctgβ)   -2ES`*SS`*ctgβ

2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000

ES`=

2SS`*ctgβ

因为，DE⊥BS`，所以，

ES`

cos c=

DE

2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000

2SS`*ctgβ

cos c=

SS`*ctgδ

2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000

cos c=

2

2SS`  *ctgβ*ctgδ

2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000

c=arccos

2

2SS`  *ctgβ*ctgδ

2.下面求角d，

因为，DS`⊥SS`，所以，DS`=SS`*ctgδ，SS`就是飞机的高度，可以通过高度气压表测量得到，因为，CS`⊥SS`，所以，CS`=SS`*ctgγ，因为，CF⊥BS`，所以，

2   2    2

BC  =BF  +CF

因为BC是信号源B和C的连线长度是50KM，所以，

2    2

2500  =BF  +CF         (1)

2    2     2

CS`  =CF  +FS`           (2)

(1)-(2)得，

2    2    2

2500-CS`  =BF  -FS`

2    2    2

2500-(SS`*ctgγ)   =BF  -FS`       (3)

因为B,F,S`在一条直线上，所以，BF+FS`=BS`，BF+FS`=SS`*ctgβ，

BF=SS`*ctgβ-FS`             (4)

将（4）代入(3)中得，

2              2      2

2500-(SS`*ctgγ)   =(SS`*ctgβ-FS`)    -FS`

2           2

2500-(SS`*ctgγ)   =(SS`*ctgβ)  -2FS`*SS`*ctgβ

2          2

(SS`*ctgβ)  +(SS`*ctgγ)  -2500

FS`=

2SS`*ctgβ

因为CF⊥BS`，所以，

FS`

cos d=

CS`

2           2

(SS`*ctgβ)  +(SS`*ctgγ)  -2500

2SS`*ctgβ

cos d=

SS`*ctgγ

2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgγ)  -2500

cos d=

2

2SS`   *ctgβ*ctgγ

2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgγ)  -2500

d=arccos

2

2SS`   *ctgβ*ctgγ

3.下面求h,

因为B,F,S`在一条直线上，所以，BF+FS`=BS`，BF+FS`=SS`*ctgβ，

FS`=SS`*ctgβ-BF      (5)

将（5）代入(3)中得，

2     2             2

2500-(SS`*ctgγ)   =BF   -(SS`*ctgβ-BF)

2                       2

2500-(SS`*ctgγ)   =2BF*SS`*ctgβ-(SS`*ctgβ)

2          2

2500-(SS`*ctgγ)  +(SS`*ctgβ)

BF=

2SS`*ctgβ

因为，CF⊥BS`，所以，

BF

cos h=

BC

2           2

2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

2SS`*ctgβ

cos h=

50

2           2

2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

cos h=

100SS`*ctgβ

2           2

2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

h=arccos

100SS`*ctgβ

因为, d+h+g=180°, i+g=180°, 所以, i=d+h,

2           2                          2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgγ)  -2500         2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

i=arccos                             +arccos

2

2SS`   *ctgβ*ctgγ                          100SS`*ctgβ

因为三角形CC`S`是直角三角形，所以, e+i=90°，e=90°-i，

2           2                          2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgγ)  -2500         2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

c=90°-arccos                             -arccos

2

2SS`   *ctgβ*ctgγ                          100SS`*ctgβ

因为，f+c+d+e=180°，所以，f=180°-c-d-e，

2           2                      2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000       (SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgγ)  -2500

f=180°-arccos                             -arccos

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                          100SS`*ctgβ

2           2                          2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgγ)   -2500       2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

-90°+arccos                            +arccos

2

2SS`  *ctgβ*ctgγ                         100SS`*ctgβ

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

f=90°-arccos                             +arccos

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

因为三角形AD`S`是直角三角形，所以，

D`S`=DS`*cosf，

D`S`=SS`*ctgδ*cos(

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

90°-arccos                            +arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

所以, S`S``=D`S``-D`S`,

S`S``=50-SS`*ctgδ*cos(

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

90°-arccos                            +arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

S`S``=50-SS`*ctgδ*sin(

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

arccos                            -arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

S`S``=50-SS`*ctgδ*((

2           2                            2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000         2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

sin arccos                            )*(cosarccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2          2                                2          2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000            2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

-(cos arccos                            )*(sin arccos                          ))

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

S`S``=50-SS`*ctgδ*((π/2-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

)*(                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2          2                               2          2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000          2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

-(                            )*( π/2-                             ))

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

S``和P点的纬度相同，把S`S``的长度近似的可以看成地球的S`和S``的弧长，再化为弧度。这个S`S``的弧度再加上P点的纬度就是S点的纬度。因为三角形AD`S`是直角三角形，所以，DD`=DS`*sinf，

DD`=SS`*ctgδ*sin(

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

90°-arccos                            +arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

所以，PS``=PP``+DD`，

PS``=50+SS`*ctgδ*sin(

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

90°-arccos                            +arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

PS``=50+SS`*ctgδ*cos(

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)  2

arccos                            -arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

PS``=50+SS`*ctgδ*((

2           2                             2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000         2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

cos arccos                            )*(cosarccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2           2                             2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000          2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

+(sin arccos                            )*(sin arccos                             ))

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

PS``=50+SS`*ctgδ*((

2           2                      2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000   2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

)*(                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                    100SS`*ctgβ

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000       2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

+ (π/2-                            )*( π/2-                             ))

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                     100SS`*ctgβ

S``和S点的经度相同，把PS``的长度近似的可以看成地球的P和S``的弧长，再化为弧度。这个PS``的弧度再加上P点的经度就是S点的经度。注：P点的经纬度已知，这样就可以求出S点的经纬度。SS`就是飞机的高度，可以通过高度气压表测量得到。

南方

飞机上的6个电视机天线

S

δ              x

γ

β

α

A                         D          f    D`

东方                                     c         S`

Q                F    P``     E                       西方

P            d         e    S``

B             h     g      C       i

图4              北方

如上图4所示，图4所画和图3一样。因为，SS`⊥QS`，所以，QS`=SS`*tgε，因为，三角形QS``S`是直角三角形。所以，

2       2        2

QS`    =QS``    +S`S``

QS``=PS``+QP，QP=25，

PS``=50+SS`*ctgδ*sin(90°-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

arccos                            +arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

QS``=75+SS`*ctgδ*sin(90°-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

arccos                            +arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

S`S``=50-SS`*ctgδ*cos(90°-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

arccos                            +arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2

(SS`*tgε)   = [75+SS`*ctgδ*sin(90°-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

arccos                            +arccos                          )] +

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

[50-SS`*ctgδ*cos(90°-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

arccos                            +arccos                          )]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2

(SS`*tgε)   = [75+SS`*ctgδ*cos(

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

arccos                            -arccos                          )] +

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

[50-SS`*ctgδ*sin(

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

arccos                            -arccos                          )]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2

(SS`*tgε)   = [75+SS`*ctgδ*((

2           2                              2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000            2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

cos arccos                             )*(cosarccos                            )+

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2           2                            2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000         2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

sinarccos                            )*(sin arccos                          ))]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

+[50-SS`*ctgδ*((

2           2                              2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000            2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

sin arccos                             )*(cosarccos                            )-

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2           2                            2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000         2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

cos arccos                            )*(sin arccos                          ))]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2

(SS`*tgε)   = [75+SS`*ctgδ*((

2           2                       2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000     2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

)*(                            )+

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2           2                            2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000         2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

π/2-                            )*( π/2-                            ))]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

+[50-SS`*ctgδ*((

2           2                       2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000     2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

π/2-                             )*(                            )-

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2           2                            2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000         2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

)*( π/2-                            ))]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

这样通过模拟计算机的集成运放加法器，减法器，乘法器，除法器就可以建立方程式，求出SS`的值。

因为，SS`⊥P``S`，所以，P``S`=SS`*tgζ，因为，三角形P`S`S是直角三角形，所以，

2       2      2

P``S`   =P``S``  +S`S``

P``S``=DD`，

DD`=SS`*ctgδ*sin(90°-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

arccos                            +arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

P``S``=SS`*ctgδ*sin(90°-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

arccos                            +arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

S`S``=50-SS`*ctgδ*cos(90°-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

arccos                            +arccos                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2

(SS`*tgζ)   =[SS`*ctgδ*sin(90°-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

arccos                            +arccos                          )] +

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

[50-SS`*ctgδ*cos(90°-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

arccos                            +arccos                          )]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2

(SS`*tgζ)   =[SS`*ctgδ*cos(

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

arccos                            -arccos                          )] +

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

[50-SS`*ctgδ*sin(

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

arccos                            -arccos                          )]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2

(SS`*tgζ)   =[SS`*ctgδ*((

2           2                            2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000         2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

cos arccos                            )*(cosarccos                          ) +

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2           2                              2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000           2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

(sin arccos                            )*(sin arccos                          ))]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

+[50-SS`*ctgδ*((

2           2                            2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000         2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

sin arccos                            )*(cosarccos                          ) +

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2           2                              2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000           2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

(cos arccos                            )*(sin arccos                          ))]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2

(SS`*tgζ)   =[SS`*ctgδ*((

2           2                      2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000   2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

)*(                          ) +

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                100SS`*ctgβ

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

(π/2-                            )*( π/2-                           ))]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                    100SS`*ctgβ

+[50-SS`*ctgδ*((

2           2                      2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000   2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

π/2-                            )*(                          ) -

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                100SS`*ctgβ

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000       2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)   2

(                            )*( π/2-                           ))]

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                    100SS`*ctgβ

这样通过模拟计算机的集成运放加法器，减法器，乘法器，除法器就可以建立方程式，求出SS`的值。

南方

飞机上的6个电视机天线

S

δ              x

γ

β

α

A                         D

东方        a                 P`                     S`

Q        Q`        b    P``                         西方

P                     e    S``

B                        C

图5              北方

如上图5所示, 飞机上的4个电视机天线，由于距离很近，可以看成一点S, 4个电视机天线的方向和垂直方向的夹角分别是α，β，γ，δ。再放两个电视信号源在Q点和P``点。再用两个电视天线在飞机上接收这两个点发出的信号。测量这两个天线在最佳接收信号的位置和垂直方向的夹角为ε，ζ。做直线AQ`垂直于QS`，S`是S在球面上的投影S，P点是正方形ABCD的中心点，A`是直线AS`和边长CD的交点，B`是直线BS`和边长CD的交点，A``是直线AS``和边长CD的交点，B``是直线BS``和边长CD的交点，P`是直线QS`和边长CD的交点，P``是边长CD的中点，Q是边长AB的中点，S``，P``,P,Q四点在一条直线上，因为，SS`⊥QS`，SS`就是飞机的高度，可以通过高度气压表测量得到。所以，QS`=SS`*ctgε=H*ctgε，因为，

SS`⊥AS`，所以，AS`=SS`*ctgζ=H*ctgζ，AQ=25KM，因为，AQ`⊥QS`，所以，

2      2       2

AQ   =AQ`   +Q`S`

2      2      2

25   =AQ`   +Q`S`                     (1)

2      2      2

AS`   =AQ`   +QQ`

2      2      2

(H*ctgζ)   =AQ`   +QQ`               (2)

(2)-(1)得，

2         2      2

(H*ctgζ)  -625 =QQ`   -Q`S`            (3)

因为，QS`=QQ`+Q`S`，H*ctgε=QQ`+Q`S`，

H*ctgε-QQ`=Q`S`               (4)

把(4)代入（3），

2         2              2

(H*ctgζ)  -625 =QQ`   -(H*ctgε-QQ`)

2              2             2

(H*ctgζ)  -625 =-(H*ctgε)   +2H*ctgε*QQ`

2

2(H*ctgε)   +625

QQ`=

2H*ctgε

因为，∠AQS`=a，  ∠S`QS``=b，       所以，

QQ`

sina=

AQ

QQ`

a=arc sin

AQ

2

2(H*ctgε)   +625

2H*ctgε

a=arc sin

25

2

2(H*ctgε)   +625

a=arc sin

50H*ctgε

因为，∠AQS``=90°，a+b=90°，所以，

2

2(H*ctgε)   +625

b-90°=arc sin

50H*ctgε

2

2(H*ctgε)   +625

b=arccos

50H*ctgε

因为, S`S``⊥QS``,所以, S`S``=QS`*sinb, S`S``=H*ctgε*sinb,

2

2(H*ctgε)   +625

S`S``=H*ctgε*sin arccos

50H*ctgε

因为, S``和P点的纬度相同，把S`S``的长度近似的可以看成地球的S`和S``的弧长，再化为弧度。这个S`S``的弧度再加上P点的纬度就是S点的纬度。因为，S`S``⊥QS``，所以，QS``=QS`*cosb，QS``=H*ctgε*cosb，

2

2(H*ctgε)   +625

QS``=H*ctgε*

50H*ctgε

PS``=QS``-QP，

2

2(H*ctgε)   +625

PS``=H*ctgε*                    -25

50H*ctgε

S``和S点的经度相同，把PS``的长度近似的可以看成地球的P和S``的弧长，再化为弧度. 这个PS``的弧度再加上P点的经度就是S点的经度。注：P点的经纬度已知，这样就可以求出S点的经纬度。

根据上面的公式，可以利用6个电视机天线测量的最佳信号的方向计算经纬度。用集成运放的加减乘除电路按照上面的公式组成电路，就可以计算各种位置变量。

下面介绍用模拟电路计算下面方程式的变量

2               2        2

tgα*SS`=   2500   +A`D       +     A`P`     +P`S`         (3)

2

P`S`=    (tgδ*SS`)     -625              (1)

A`D+A`P`=25             (4)

SS`            2            2

=625 +SS`   +(50+P`S`)         (5)

cosα

飞机上6个电视机天线所在的点为S，它在地面的投影是S`。其中角αβγδεζ，分别是飞机上面的6个电视机天线和垂直于地面的直线SS`的夹角。P点是飞机的出发点，它的经纬度已知。ABCD四个电视机信号发射点形成一个边长是50KM的正方形，P点在正方形的中心。Q点在边长AB的中点上，P``在边长CD的中点上。Q,P,P``S``在一条直线上。1.上面电路实现的功能是计算下面对数方程的解。SS`,A`D,A`P`,P`S`是未知变量，需要求解。求得上面方程组的SS`就是飞机所处的高度，2.测量得到α数值，使电路输出αV，通过tgα，cosα就会得到相应的三角函数值。3.测量得到δ数值，使电路输出δV，通过tgδ，就会得到相应的三角函数值。4.上面的电路中，调节SS`,A`D,A`P`,P`S`未知变量的输出值，当等号处4个电压表读数为零时。

电路示意图如下：

电路图如下：

1.上面电路实现的功能是计算下面对数方程的解

S`S``=50-SS`*ctgδ*((π/2-

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000      2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

)*(                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

2          2                               2          2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000          2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

-(                            )*( π/2-                             ))

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                        100SS`*ctgβ

S`S``是未知变量，需要求解。SS`就是飞机的高度，可以通过高度气压表测量得到。其中角αβγδεζ，分别是飞机上面的6个电视机天线和垂直于地面的直线SS`的夹角。当天线接收到信号源的信号是最佳信号时，此时天线和SS`的夹角就是上面的夹角。

2.测量得到β数值，使电路输出βV，通过ctgβ就会得到相应的三角函数值。

3.测量得到δ数值，使电路输出δV，通过ctgδ，就会得到相应的三角函数值。

4.测量得到γ数值，使电路输出γV，通过ctgγ，就会得到相应的三角函数值。

注意此时角度值是弧度，即测量得到的角度最大为π，最小为0。

电路示意图如下

计算纬度的电路图如下

1.上面电路实现的功能是计算下面对数方程的解

PS``=50+SS`*ctgδ*((

2           2                      2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000   2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

)*(                          )

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                    100SS`*ctgβ

2           2                         2           2

(SS`*ctgβ)   +(SS`*ctgδ)   -5000       2500-(SS`*ctgγ)   +(SS`*ctgβ)

+ (π/2-                            )*( π/2-                             ))

2

2SS`   *ctgβ*ctgδ                     100SS`*ctgβ

PS``是未知变量，需要求解。SS`就是飞机的高度，可以通过高度气压表测量得到。其中角αβγδεζ，分别是飞机上面的6个电视机天线和垂直于地面的直线SS`的夹角。当天线接收到信号源的信号是最佳信号时，此时天线和SS`的夹角就是上面的夹角。

2.测量得到β数值，使电路输出βV，通过ctgβ就会得到相应的三角函数值。

3.测量得到δ数值，使电路输出δV，通过ctgδ，就会得到相应的三角函数值。

4.测量得到γ数值，使电路输出γV，通过ctgγ，就会得到相应的三角函数值。

注意此时角度值是弧度，即测量得到的角度最大为π，最小为0。

计算经度的电路图如下:

下面介绍电视信号发射电路

1.用摄像机的信号做信号源，发射出去，用电视机接收信号

2.用电视信号发生器做信号源，用发射电路发射出去，用电视机接收信号

3.用高频信号发生器做信号源，通过发射电路将信号发射出去，用收音机接收信号

发射电路如下图所示

计算机稳压电源如下图所示

电视机电路图

电视信号发生器电路图

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