李宏毅机器学习——逻辑回归

李宏毅机器学习——逻辑回归

逻辑回归

第一步先选择函数集

步骤一：函数集

图形化表示如下：

这个就是逻辑回归，我们与线性回归做一个比较。

因为Sigmoid函数的取值范围是0到1，因此逻辑回归的输出也是0到1；而线性回归的输出可以是任何值。

接下来判断函数的好坏

步骤2： 函数有多好

取对数的好处是使得相乘变成相加：

但是这个式子不好写个SUM的形式,因此需要做符号转换

所以在逻辑回归中，定义一个函数的好坏就通过两个类别分布的交叉熵之和：

我们需要最小化这个交叉熵，也就是希望函数的输出和目标函数的输出越接近越好。

步骤3：找到最好的函数

计算该式对w中某个特征的微分。

一项一项来求，左项可以写成

而右项

也就是

所以

得到的式子很简单。如果用梯度下降算法来更新它的话，可以写成：

接下来比较下逻辑回归和线性回归更新时的式子：

生成模型VS判别模型

我们上面讨论的逻辑回归是判别模型（Discriminative），用高斯分布描述的概率分布模型是生成模型(Generative)。

根据同一组训练数据，同样的函数集，上面两种模型会得到不同的函数。

如果用上所有的特征，判别模型的准确率更好。

假设有一个非常简单的二元分类问题，每个数据都有两个特征。

Class1我们只有一份数据，它的两个特征都是1；Class2有12份数据，如上。

如果给一份测试数据，它的两个特征都是1：

那么它属于哪个类别的概率大呢？

接下来计算这个测试数据属于类别1的几率

多分类问题

多分类问题是指类别超过2个的分类问题。

假设输入是3,1，-3

首先取​​e​​​的指数，得到20,2.7,0.05 再把这些数加起来得到22.75，输出就是根据​​e​​的指数除以这个加起来的总数。

逻辑回归的限制

逻辑回归其实有很大的限制的，以一个简单的二分类问题来举例。

把这四个样本画到二维坐标上是下面这个样子，蓝色的点是类别2；红色的点是类别1。

不管怎么画，都无法画出满足条件的直线。

那么怎么办呢，还是有办法的，可以做特征转换。把蓝色点和红点转换成一条直线的两边。

然后就可以画一条线将红蓝点分开。

但是特征转换并不总是那么的有用，因为这需要领域知识，要知道该怎么转换。

其实特征转换可以看很多个逻辑回归模型叠加的结果。

我们继续用刚才讲的例子来说明。

我们可以把逻辑回归串接起来，一部分做特征转换，最后用一个做真正的分类。

那么问题来了，如何找到这些逻辑回归模型的参数呢？

这些逻辑回归的参数可以一起学习到的，只要告诉输入和输出，就可以一次把所有的逻辑回归的参数学习出来。

我们把上面每个逻辑回归模型叫做神经元，每个神经元串接起来后叫做神经网络，这就是深度学习

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