【李宏毅机器学习CP5-8】(task3上)误差分析+梯度下降优化

【李宏毅机器学习CP5-8】(task3上)误差分析+梯度下降优化

学习心得

（1）模型评估的Error=偏差+方差+噪声

（2）为了改进以往的梯度下降，我们可以自适应调整学习速率Adagrad、随机梯度下降法、特征缩放等方法

（3）回归的作业和numpy实现logistic回归识别是否为猪狗猫task在下一篇​​【李宏毅机器学习CP9】（task3下部分）PM2.5预测作业 + numpy实现神经网络logistic回归​​，注意逻辑回归是最基础也是最重要的模型：

通过逻辑回归能演化出很多模型：

逻辑回归=线性回归+sigmoid激活函数，从而将回归问题转换为分类问题逻辑回归+矩阵分解，构成了推荐算法中常用的FM模型逻辑回归+softmax，从而将二分类问题转化为多分类问题逻辑回归还可以看做单层神经网络，相当于最简单的深度学习模型

文章目录

​​学习心得​​​​一、误差Error分析​​

​​1.估测变量x的偏差和方差​​

​​1）评估x的偏差bias​​​​2）评估x的方差variable​​

​​2.不同模型情况​​

​​1）不同模型的方差​​​​2）不同模型的偏差​​​​3）方差VS偏差​​

​​3.判断&分析​​

​​1）bias偏差大-欠拟合​​​​2）variance方差大-过拟合​​

​​4.模型的选择​​

​​1）交叉验证​​​​2）N-折交叉验证​​

​​二、梯度下降​​

​​0.复习梯度下降​​​​1.优化算法​​

​​1）调整学习速率​​

​​小心翼翼地调整学习率​​​​自适应学习率​​​​Adagrad 算法​​​​Adagrad举例​​​​Adagrad存在的矛盾​​​​多参数下结论不一定成立​​​​Adagrad 进一步的解释​​

​​2）随机梯度下降法SGD​​​​3）特征放缩Feature Scaling​​

​​为什么要这样做？​​​​怎么做缩放？​​

​​2.梯度下降的数学理论​​

​​1）泰勒展开式​​

​​多变量泰勒展开式​​

​​2）利用泰勒展开式化简​​

​​3.梯度下降的限制​​

​​三、Gradient Descent (Demo by AOE)​​​​四、Gradient Descent (Demo by Minecraft)​​​​五、Reference​​

一、误差Error分析

1.估测变量x的偏差和方差

偏差：平均模型（对用所有训练集得到的所有模型求平均值）与真实模型之间的差距 方差：用所有训练集得到的所有模型本身也各不相同，他们的变动水平即方差

知乎orangeprince用户的一个解答： 首先 Error = Bias + VarianceError反映的是整个模型的准确度，Bias反映的是模型在样本上的输出与真实值之间的误差，即模型本身的精准度，Variance反映的是模型每一次输出结果与模型输出期望之间的误差，即模型的稳定性。举一个例子，一次打靶实验，目标是为了打到10环，但是实际上只打到了7环，那么这里面的Error就是3。具体分析打到7环的原因，可能有两方面：一是瞄准出了问题，比如实际上射击瞄准的是9环而不是10环；二是枪本身的稳定性有问题，虽然瞄准的是9环，但是只打到了7环。那么在上面一次射击实验中，Bias就是1,反应的是模型期望与真实目标的差距，而在这次试验中，由于Variance所带来的误差就是2，即虽然瞄准的是9环，但由于本身模型缺乏稳定性，造成了实际结果与模型期望之间的差距。

1）评估x的偏差bias

评估平均值要怎么做呢？

2）评估x的方差variable

2.不同模型情况

1）不同模型的方差

一次模型的方差就比较小的，也就是是比较集中，离散程度较小。而5次模型的方差就比较大，同理散布比较广，离散程度较大。

所以用比较简单的模型，方差是比较小的（就像射击的时候每次的时候，每次射击的设置都集中在一个比较小的区域内）。如果用了复杂的模型，方差就很大，散布比较开。

这也是因为简单的模型受到不同训练集的影响是比较小的。

2）不同模型的偏差

直观的解释：简单的模型函数集的space比较小，所以可能space里面就没有包含靶心，肯定射不中。而复杂的模型函数集的space比较大，可能就包含的靶心，只是没有办法找到确切的靶心在哪，但足够多的，就可能得到真正的 f¯f¯。

每一个model就是一个function set，可以用上图的左下方的圈圈表示这个function set，即范围。一个简单的model的set是比较小的（可能就根本没有包含target），而上图左边的五次方方程曲线，这时的function set比较大。 虽然分布的比较散，没有办法找出target（数据少），但是比较分散在中心周围，平均起来能接近f¯。

3）方差VS偏差

将系列02中的误差拆分为偏差和方差。

3.判断&分析

如果模型没有很好的训练训练集，就是偏差过大，也就是欠拟合如果模型很好的训练训练集，即再训练集上得到很小的错误，但在测试集上得到大的错误，这意味着模型可能是方差比较大，就是过拟合。

对于欠拟合和过拟合，是用不同的方式来处理的

1）bias偏差大-欠拟合

将更多的函数加进去，比如考虑高度重量，或者HP值等等。或者考虑更多次幂、更复杂的模型。

如果此时强行再收集更多的data去训练，这是没有什么帮助的，因为设计的函数集本身就不好，再找更多的训练集也不会更好。

2）variance方差大-过拟合

4.模型的选择

现在在偏差和方差之间就需要一个权衡想选择的模型，可以平衡偏差和方差产生的错误，使得总错误最小

但是下面这件事最好不要做：

用训练集训练不同的模型，然后在测试集上比较错误，模型3的错误比较小，就认为模型3好。但实际上这只是你手上的测试集，真正完整的测试集并没有。比如在已有的测试集上错误是0.5，但有条件收集到更多的测试集后通常得到的错误都是大于0.5的。

1）交叉验证

图中public的测试集是已有的，private是没有的，不知道的。

交叉验证 就是将训练集再分为两部分，一部分作为训练集，一部分作为验证集。用训练集训练模型，然后再验证集上比较，确实出最好的模型之后（比如模型3），再用全部的训练集训练模型3，然后再用public的测试集进行测试，此时一般得到的错误都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数，调整模型，让在public的测试集上更好，但不太推荐这样。

上述方法可能会担心将训练集拆分的时候分的效果比较差怎么办，可以用下面的方法。

2）N-折交叉验证

将训练集分成N份，比如分成3份。

比如在三份中训练结果Average错误是模型1最好，再用全部训练集训练模型1。

二、梯度下降

0.复习梯度下降

在回归问题的第三步中，需要解决下面的最优化问题：

上图举例将梯度下降法的计算过程进行可视化。

1.优化算法

1）调整学习速率

小心翼翼地调整学习率

上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。

解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

自适应学习率

举一个简单的思想：随着次数的增加，通过一些因子来减少学习率

学习率不能是一个值通用所有特征，不同的参数需要不同的学习率

Adagrad 算法

Adagrad 是什么？ 每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释： 普通的梯度下降为：

Adagrad举例

下图是一个参数的更新过程

将 Adagrad 的式子进行化简：

Adagrad存在的矛盾

在 Adagrad 中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。（1）下图是一个直观的解释：

（2）下面为一个正式的解释：

这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。

结论1-1：梯度越大，就跟最低点的距离越远。

这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多参数下结论不一定成立

对比不同的参数

所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。

所以最好的步伐应该是：

即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分：

Adagrad 进一步的解释

再回到之前的 Adagrad

如上图中，比较平滑的曲线（左边）的一次微分比较小，而比较尖的（右边）的一次微分比较大.

2）随机梯度下降法SGD

此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数Ln，就可以赶紧update 梯度。

对比：

3）特征放缩Feature Scaling

为什么要这样做？

上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。

对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。

怎么做缩放？

方法非常多，这里举例一种常见的做法：

上图每一列都是一个例子，里面都有一组特征。

2.梯度下降的数学理论

接下来就是如果在小圆圈内快速的找到最小值？

1）泰勒展开式

举例：

多变量泰勒展开式

下面是两个变量的泰勒展开式

2）利用泰勒展开式化简

将问题进而简化为下图：

然后将u和v带入。

发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提，泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的，而这需要红色的圈圈足够小（也就是学习率足够小）来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话，即保证式1-2 成立的话，就需要学习率足够足够小才可以。

所以实际中，当更新参数的时候，如果学习率没有设好，是有可能式1-2是不成立的，所以导致做梯度下降的时候，损失函数没有越来越小。

式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项，如果考虑到二次项（比如牛顿法），在实际中不是特别好，会涉及到二次微分等，多很多的运算，性价比不好。

3.梯度下降的限制

容易陷入局部极值

还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方

还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点

三、Gradient Descent (Demo by AOE)

利用帝国时代的方式模拟梯度下降；在地图上大多数位置我们是未知的，只有我们单位走过的地方是可知；地图上的海拔可以看作损失函数loss function，我们的目的就是寻找海拔的最低点的值；随机初始一个位置，朝向较低的方向移动，周而复始，直到local minimal(在不开天眼的情况下，你始终不会知晓所在位置是否为global minimal)。

四、Gradient Descent (Demo by Minecraft)

利用梯度下降法更新参数，损失函数loss function可能会不降反升(利用Mincraft解释该情况)；人物的前方是较低方向，右方也是较低方向，利用梯度下降法，往右前方移动一步，然后反复用梯度下降法，往右前方移动一步，周而复始；尽管前方和右方是下降的方向，但往右前方移动，将会失败(因为实际右前方是比较高的地方)。

五、Reference

datawhale笔记

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