数列

数列

数列

数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用aₙ表示。

1 由来​​编辑​​

1.1 三角形数

传说古希腊毕达哥拉斯（约公元前570-约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如，他们研究过：

由于这些数可以用如右图所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数。

1.2 正方形数

类似地，被称为正方形数，因为这些数能够表示成正方形。因此，按照一定顺序排列的一列数称为数列。

2 概念​​编辑​​

2.1 函数解释

数列的函数理解：

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集或其有限子集的函数，其中的不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

2.2 一般形式

数列的一般形式可以写成简记为。

2.3 项

数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

用符号表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。

3 分类​​编辑​​

3.1 单调性

若对所有的 ， ，则称数列 为“递增数列”。把 换成 则称为“严格递增数列”若对所有的 ， ，则称数列 为“递减数列”。把 换成 则称为“严格递减数列”若对所有的 ， ，则称数列 为“常数数列”。

3.2 有限性

若数列 的项数有限，则 为“有限数列”。若数列 的项数无限，则 为“无穷数列”。

3.3 有界性

若对于所有的 ， ，则称数列 为“有界数列”。称 为“下界”，称 为“上界”。若对于数列 ，上述的 、 不存在，则称数列 为“无界数列”

3.4 收敛性

对于含有无穷多项的数列，我们可以为其定义“数列的极限”为常数：

若上述极限存在，则称该数列是“收敛数列”，且收敛于 。若上述极限不存在，则称该数列为“发散数列”。

4 公式​​编辑​​

（1）通项公式：数列的第N项与项的序数n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式，如。数列通项公式的特点：1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

（2）递推公式：如果数列的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列递推公式特点：1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。2）有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。

5 等差数列​​编辑​​

5.1 定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n项和用表示。等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）​​[1]​​。

5.2 通项公式

其中，n=1时 ；n≥2时 。

(k,b为常数) 推导过程：令，则得到。

5.3 等差中项

由三个数，，组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时，叫做与的等差中项（arithmetic mean）。有关系：。

5.4 前n项和

倒序相加法推导前n项和公式：

的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

亦可得

有趣的是，

5.5 性质

（1）任意两项，的关系为：，它可以看作等差数列广义的通项公式。

（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：，。

（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有。

（4）对任意的k∈N*，有，，，，成等差数列。

5.6 应用

日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有，，则。其于数学的中的应用，可举例：快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个，算法不止一种，这里介绍用数列算令等差数列首项（24为6的4倍），等差d=6；于是令即可解出n=19。

6 等比数列​​编辑​​

6.1 定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。

等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。

6.2 等比中项

如果在与b中间插入一个数G，使，G，b成等比数列，那么G叫做与b的等比中项。

有关系：；。

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以是、G、b三数成等比数列的必要不充分条件。

6.3 通项公式

（其中首项是，公比是q）；

(n≥2)。

6.4 前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为：，；

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为：；

前n项和与通项的关系：；。

6.5 性质

（1）若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则；

（2）在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

（4）等比中项：q、r、p成等差数列，则，则为、等比中项。

记，则有，。

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底对数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

(5) 等比数列前n项之和；

(6)任意两项的关系为；

(7)在等比数列中，首项与公比q都不为零。

6.6 应用

等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。

7 等和数列​​编辑​​

“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列，它的性质是：必定是循环数列。

8 通项公式的求解​​编辑​​

通常，我们从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是递推关系式可能会有点复杂，难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以我们希望寻找方法，以求化简数列的递推关系式，从而得到简单明了的一般项公式。一般项公式也叫通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。遗憾的是，没有一种方法是万能的，所以通项公式的求解仍然是一个具有一定技巧性的工作。完全求不出通项公式、只能进行估算的情形也是经常出现的。

数学归纳法逐差全加逐商全乘从和式求通项还原法不动点法

其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

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