K-SVD字典学习及其实现（Python）

K-SVD字典学习及其实现（Python）

算法思想

算法求解思路为交替迭代的进行稀疏编码和字典更新两个步骤. K-SVD在构建字典步骤中，K-SVD不仅仅将原子依次更新，对于原子对应的稀疏矩阵中行向量也依次进行了修正. 不像MOP，K-SVD不需要对矩阵求逆，而是利用SVD数学分析方法得到了一个新的原子和修正的系数向量.

固定系数矩阵X和字典矩阵D，字典的第k个原子为dk，同时dk对应的稀疏矩阵为X中的第k个行向量xkT. 假设当前更新进行到原子dk，样本矩阵和字典逼近的误差为：

∥Y−DX∥2F=∥Y−∑j=1KdjxjT∥2F=∥(Y−∑j≠kdjxjT)−dkxjT∥2F=∥Ek−dkxkT∥2F

在得到当前误差矩阵Ek后，需要调整dk和XkT，使其乘积与Ek的误差尽可能的小.

如果直接对dk和XkT进行更新，可能导致xkT不稀疏. 所以可以先把原有向量xkT中零元素去除，保留非零项，构成向量xkR，然后从误差矩阵Ek中取出相应的列向量，构成矩阵ERk. 对ERk进行​​SVD​​（Singular Value Decomposition）分解，有ERk=UΔVT，由U的第一列更新dk，由V的第一列乘以Δ(1,1)所得结果更新xkR.

Python实现

import numpy as npfrom sklearn import linear_modelimport scipy.miscfrom matplotlib import pyplot as pltclass KSVD(object): def __init__(self, n_components, max_iter=30, tol=1e-6, n_nonzero_coefs=None): """ 稀疏模型Y = DX，Y为样本矩阵，使用KSVD动态更新字典矩阵D和稀疏矩阵X :param n_components: 字典所含原子个数（字典的列数） :param max_iter: 最大迭代次数 :param tol: 稀疏表示结果的容差 :param n_nonzero_coefs: 稀疏度 """ self.dictionary = None self.sparsecode = None self.max_iter = max_iter self.tol = tol self.n_components = n_components self.n_nonzero_coefs = n_nonzero_coefs def _initialize(self, y): """ 初始化字典矩阵 """ u, s, v = np.linalg.svd(y) self.dictionary = u[:, :self.n_components] def _update_dict(self, y, d, x): """ 使用KSVD更新字典的过程 """ for i in range(self.n_components): index = np.nonzero(x[i, :])[0] if len(index) == 0: continue d[:, i] = 0 r = (y - np.dot(d, x))[:, index] u, s, v = np.linalg.svd(r, full_matrices=False) d[:, i] = u[:, 0].T x[i, index] = s[0] * v[0, :] return d, x def fit(self, y): """ KSVD迭代过程 """ self._initialize(y) for i in range(self.max_iter): x = linear_model.orthogonal_mp(self.dictionary, y, n_nonzero_coefs=self.n_nonzero_coefs) e = np.linalg.norm(y - np.dot(self.dictionary, x)) if e < self.tol: break self._update_dict(y, self.dictionary, x) self.sparsecode = linear_model.orthogonal_mp(self.dictionary, y, n_nonzero_coefs=self.n_nonzero_coefs) return self.dictionary, self.sparsecodeif __name__ == '__main__': im_ascent = scipy.misc.ascent().astype(np.float) ksvd = KSVD(300) dictionary, sparsecode = ksvd.fit(im_ascent) plt.figure() plt.subplot(1, 2, 1) plt.imshow(im_ascent) plt.subplot(1, 2, 2) plt.imshow(dictionary.dot(sparsecode)) plt.show()

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