Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值

Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值

为了求解问题

因为它是非凸的，我们求解一个它的近似算法

对于一个大的τ值，它可以用下列等式接近

其中第一项为核范式（奇异值的和），第二项为Frobenius范式。

Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值

* 奇异值收缩(singular value shrinkage)*

首先我们考虑一个秩为r的矩阵X∈Rn1xn2的奇异值分解如下：

其中 U 和 V 分别为 n1×r 和 n2×r 的正交矩阵，奇异值为ρi非负的。对于每个τ≥0，我们有软阈值操作Dτ:

其中t+表示的t非负部分，即 t+=max(0,t)。换句话说，这个软阈值操作仅仅应用于矩阵 X$X$ 的奇异值上，使它们趋于零。这也是为什么我们将其成为奇异值收缩(singular value shrinkage)的原因。

* Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值*

又因为奇异值收缩(singular value shrinkage)是核范式的近似操作(具体证明见[3])，因此上式可以转化为：

它的迭代方式为：

这个算法受到压缩感知中迭代算法的启发，在迭代过程中对矩阵进行SVD，然后将较小的奇异值设置为0，生成新的矩阵进行迭代。该算法运算速度快，对于高位低秩矩阵的恢复非常有效。

用拉格朗日乘子法解释

原问题为：

其拉格朗日函数为：

强对偶成立，且拉格朗日函数的鞍点是原函数与对偶问题的最优解，即

其迭代解为：

参考或延伸材料： [1] ​​​斯坦福SVT软件​​​ [2] ​​​Generalized Singular Value Thresholding​​​ [3] ​​​A singular value thresholding algorithm for matrix completion​​​ [4] ​​​Exact Matrix Completion via Convex Optimization​​

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