LA 3942 Remember the Word——DP + 字典树
LA 3942 Remember the Word——DP + 字典树
蓝书例题,提示状态转移方程为dp【i】 = sum{dp【i + len(s)】},其中s是S【i……n-1】的前缀
然而一开始并不明白这个状态转移方程,看了很多博客还是云里雾里,最后在纸上手动演算了一下才明白,推荐不明白的朋友根据下面的方法在草纸上演算一下。
不考虑字典树,我们像蓝书介绍的那样定义dp【i】为【从第i个字符到最后一个字符的子串】的方案数,明显dp【i】是和原问题规模相同的子问题,现在我们来解决这个子问题:
对于dp【i】代表的字符串s【i~n-1】(字符串最后一位是n-1),可以看做【前缀+更小的子问题】,它能由更小的子问题转移的条件是前缀在字典中存在(这里不明白的话演算一下下面的例子),所以我们要得到子问题dp【i】的解,就要枚举它的所有前缀,从中找出合法的前缀,然后统计前缀后面的【更小的子问题】, 求和,dp【i】的解就是统计出来的和,这就是“dp【i】 = sum{dp【i + len(s)】},其中s是S【i……n-1】的前缀”的由来(注意s是dp【i】代表的子串的所有前缀)
枚举前缀的复杂的为O(n),算上递推时的复杂度,一共O(n^2)(这还没算判断前缀是否合法的复杂度),一定会超时,现在就要考虑字典树优化,对于dp【i】代表的子串,我们在字典树中寻找该子串路径上val为1的节点,说白了就是这个子串包含的前缀,每到一个这样的节点(设为x),就让dp【i】 += dp【x+1】,最终结果为dp【0】
理解了上述过程后,不难想到边界为dp【n】 = 1;
例子:
对于样例abcd,字典a、b、ab、cd,从a开始,合法前缀为a、ab,所以dp【0】 = dp【1】 + dp【2】,产生了dp【1】和dp【2】两个子问题;
先看dp【1】,它代表的字符串为bcd,合法前缀为b,所以dp【1】 = dp【2】, 产生了一个子问题dp【2】;
然后看dp【2】,合法前缀为cd,所以dp【2】 = dp【4】,dp【4】是我们设置的边界,值为1,所以dp【2】 = 1;
最终dp【0】 = 2
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