高数_第1章空间解析几何与向量代数__平面方程

高数_第1章空间解析几何与向量代数__平面方程

若向量a既垂直b,   又垂直于c,    且 b和c不平行， 那么可知: a// b x c,

此时可称a为向量b、 向量c的法向量。

这个结论，经常用于在解答平面方程时，求法向量。

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首先看一个例题

例1 设平面过原点及点(6,  -3,  2),  且与平面a:  4x-y+2z = 8垂直， 求此平面方程。

解： 设平面方程为Ax + By + Cz =0.    平面的法向量n = (A, B, C)，

由题意，可得 6A -3B+2C = 0,

n与平面a的法向量(4, -1, 2) 垂直，得出:   (A， B,  C) · (4,  -1,  2) = 4A -B+2C=0.

将此两个方程联立，有

这里3个变量， 只有两个方程，不能直接解出。

注意：我们只要求出A, B，C的关系， 不需要求出解， 不需要求出解。

容易得出:  B=A,     C =  -3A/2。

所以,  法向量 n = (A,  A， -3A/2）= A/2( 2, 2, -3).  可以看成法向量n为（2， 2， -3）。

这里，假设A=2，

平面方程为： 2x + 2y -3z = 0.

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例2：  求一个通过x轴和点 M（3， 1， -1）的平面方程

解：一个平面过x轴，说明平面方程Ax+By+Cz=0  中，A=0,

因为当y=0, z=0时， 有Ax=0,  必有A=0.

因此我们可以得出一个结论，平面通过哪个轴， 哪个变量前的系数为0.

所以平面方程为 By+Cz = 0.   将点M代入，有

B-C=0.   B=C。  By+Bz=0.

所以平面方程为  y+z = 0

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下面，我们学习平面之间的关系。

三.  平面之间夹角

规定平面之间的夹角在0~  π/2 之间。

两个平面之间的夹角 θ

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