51nod 1239 欧拉函数之和

51nod 1239 欧拉函数之和

描述

对正整数 n ，欧拉函数是小于或等于 n 的数中与 n 互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为 Euler’s totient function 、 φ 函数、欧拉商数等。例如：φ(8) = 4（Phi(8) = 4），因为 1,3,5,7 均和 8 互质。S(n) = Phi(1) + Phi(2) + …… Phi(n)，给出n，求S(n)，例如：n = 5，S(n) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10，定义Phi(1) = 1。由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

Input

输入一个数N。(2 <= N <= 10^10)

Output

输出S(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

5

Output示例

10

思路

和 ​​51nod 1244 莫比乌斯函数之和​​ 十分类似的一道题，因此我们可以采用同样的方法推出公式。

求 ∑ni=1φ(i)

我们设 M(n)=∑ni=1φ(i)

已知 ∑d|nφ(d)=n

所以有 ∑ni=1∑d|iφ(d)=∑ni=1∑⌊ni⌋d=1φ(d)=∑ni=1M(⌊ni⌋)=n×(n+1)2

因为 ∑ni=1M(⌊ni⌋)=M(n)+∑ni=2M(⌊ni⌋)=n×(n+1)2

所以 M(n)=n×(n+1)2−∑ni=2M(⌊ni⌋)

同样我们可以通过记忆化搜索以及分块来优化时间。

AC 代码

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