[数学]高等数学复习总结

[数学]高等数学复习总结

一、微积分部分

​​一、微积分部分​​

​​Part I 极限与连续​​

​​泰勒公式​​​​基本微分公式​​​​常用等价无穷小​​​​函数极限定义​​​​数列极限数列极限​​​​极限的性质​​​​极限的唯一性​​​​极限的局部有限性​​​​极限的局部保号性​​​​函数极限计算三板斧​​​​七种不定形​​​​洛必达法则​​​​数列极限运算法则​​​​夹逼准则​​​​极限的连续与间断的基本常识​​​​连续的定义​​​​有界性定理​​​​最值定理​​​​介值定理​​​​零点定理​​​​间断的定义​​

​​Part II 导数与微分​​

​​一元函数微分的定义​​​​一元函数定义注意点​​​​基本求导公式​​​​基本求导方法​​​​复合函数求导​​​​隐函数求导​​​​对数求导法​​​​反函数求导​​​​参数方程求导​​​​显函数​​​​隐函数​​

​​Part III 中值定理与一元微分学应用​​​​1. 中值定理​​

​​费马定理​​​​罗尔定理​​​​拉格朗日中值定理​​​​柯西中值定理​​​​柯西、拉格朗日、罗尔三者间的关系​​​​涉及f(x)的应用，可能需要用到的定理​​​​罗尔定理的应用范式​​​​罗尔定理的关键，以及达成这个关键的两个途径​​

​​2. 单调性与极值​​

​​导数的几何应用有哪些​​​​极值的定义需要注意的地方​​​​广义极值​​​​狭义极值（真正极值）​​​​单调性与极值判别​​

​​3. 零碎问题​​

​​函数的凹凸性​​​​函数拐点​​​​拐点判别法​​​​铅直渐近线​​​​水平渐近线​​​​斜渐近线​​​​函数的最值的求法​​

​​Part IV 一元函数积分学​​

​​不定积分定义​​​​定积分定义​​​​不定积分与定积分的几何意义​​​​牛顿-莱布尼兹公式 / N-L 公式​​​​基本积分公式​​​​点火公式(华里士公式)​​​​积分-换元法的三板斧​​​​分部积分法​​​​有理函数积分法​​​​积分中值定理​​​​定积分的计算​​​​用积分表达和计算平面图形的面积​​​​用积分表达和计算旋转体的体积​​​​用积分表达和计算函数的平均值---y(x)在[a,b]上的平均值是​​

​​Part V 多元函数微分学​​

​​多元函数微分的极限定义​​​​多元函数微分的连续性​​​​多元函数微分的偏导数 z=f(x, y)​​​​多元函数微分-链式求导规则​​​​多元函数-高阶偏导数​​​​多元函数-无条件极值-必要条件​​​​多元函数-无条件极值-充分条件​​​​多元函数-条件极值-求法​​

​​Part VI 重积分​​

​​二重积分的普通对称性​​​​二重积分的轮换对称性（直角坐标系下）​​​​二重积分直角坐标系下的积分方法​​​​二重积分极坐标系下的积分方法​​​​二重积分中值定理​​

​​Part VII 微分方程​​

​​微分方程的概念​​​​一阶微分方程求解-变量可分离型​​​​一阶微分方程求解-齐次型​​​​一阶微分方程求解-一阶线性型​​​​二阶常系数齐次D.E.求解：\(y''+py'+qy=0\)​​​​二阶常系数非齐D.E.求解：\(y''+py'+qy=f(x)\)​​

Part I 极限与连续

泰勒公式

任何可导函数 \(f(x)=\sum a_{n}x^{n}\)，\(x\rightarrow 0\)时

\(sinx=x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\)\(arcsinx=x+\frac{1}{6}x^{^{3}}+o(x^{^{3}})\)\(tanx=x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)\(arctanx=x-\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)\(cosx=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+o(x^{4})\)\(ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+o(x^{4})\)\(e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+o(x^{4})\)\(\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+o(x^{3})(\left | x \leq 1\right |)\)

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基本微分公式

\(({x^{n}})'=nx^{n-1}\)\({(a^{x})}'=a^{x}lna\)\({(e^{x})}'=e^{x}\)\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)\({(sinx)}'=cosx\)\({(cosx)}'=-sinx\)\({(tanx)}'=sec^{2}x\)\({(cotx)}'=-csc^{2}x\)\({(secx)}'=secxtanx\)\({(cscx)}'=-cscxcotx\)\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^{2}}\)\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^{2}}\)\({(ln(x+\sqrt{x^{2}+1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)\(({ln(x+\sqrt{x^{2}-1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)

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常用等价无穷小

\(x \rightarrow 0\)\(sin x \sim x\)\(arcsin x \sim x\)\(tan x \sim x\)\(arctan x \sim x\)\(e^{x} - 1 \sim x\)\(ln(1 + x) \sim x\)\((1 + x)^{\alpha } - 1 \sim \alpha x\)\(1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\)

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函数极限定义

\(\lim \limits_{x \to x0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0, 当 0<\left | x-x0 \right |< \delta\) 时，有 \(\left | f(x)-A \right | < \epsilon\)

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数列极限数列极限

n为自然数， n→\(\infty\),专指n→+\(\infty\),而略去"+"不写\(\lim \limits_{x \rightarrow \infty}x_{0}=A \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists N>0, 当 n>N时，有 |x_{0}-A|<\epsilon\)

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极限的性质

唯一性、局部有限性、局部保号性

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极限的唯一性

\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，则A唯一\)

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极限的局部有限性

$若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，则 \exists M>0, \delta>0,当0<|x-x_{0}|<\delta时,恒有|f(x)|< M $

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极限的局部保号性

\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A>0,则x\rightarrow x_{0}时，f(x)>0\)\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A<0,则x\rightarrow x_{0}时，f(x)<0\)

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函数极限计算三板斧

等价无穷小，泰勒公式，洛必达法则。这个顺序来源于杨超。​​Back to TOC​​

七种不定形

\(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty \cdot 0\), \(\infty \cdot \infty\), \(\infty^{0}\), \(0^{0}\), \(1^{\infty}\)【注】 0不是真的0， 1不是真的1​​Back to TOC​​

洛必达法则

若\(\lim \limits_{x \to *}f(x)=0, \lim \limits_{x \to *}=0\)，且\(\lim \limits_{x \to *} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\exists\), 则\(\lim \limits_{x \to *}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to *}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\)隐含条件：f(x), g(x)都为无穷小量，都可导，导函数比值的极限存在​​Back to TOC​​

数列极限运算法则

若\(x_{n}\)易于连续化，转化为函数极限计算依据：\(\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=A, 则\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(n)=A\)若\(x_{n}\)不易于连续化，用“夹逼准则”（或定积分定义）若\(x_{n}\)由递推式 \(x_{0}=f(x_{n-1})\) 给出，用“单调有界准则”\(给出 x_{n},若 x_{n} 单增且有上界或者单减且有下界 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}x_{0} \exists \Leftrightarrow {x_{0}} 收敛\)

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夹逼准则

它指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。

设\(I\)为包含某点\(a\)的区间，\(f,g,h\)为定义在\(I\)上的函数。若对于所有属于\(I\)而不等于\(a\)的\(x\)，有：\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，\(\lim \limits_{x \to a}g(x)=\lim \limits_{x\to a}h(x)=L\)；则\(\lim \limits_{x\to a}f(x)=L\)。\(g(x)\)和\(h(x)\)分别称为\(f(x)\)的下界和上界。\(a\)若在\(I\)的端点，上面的极限是左极限或右极限。 对于\(x \to \infty\)，这个定理还是可用的。

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极限的连续与间断的基本常识

任何初等函数在其定义区间内连续（只要见到的函数都是初等函数），故考研中只研究两类特殊的点：

分段函数的分段点（可能间断）无定义点（必然间断）​​Back to TOC​​

连续的定义

\(若\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0}), 则f(x)称在x=x_{0}处连续\)Note：\(\lim \limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)= \lim \limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}) 三者相等才连续\)​​Back to TOC​​

有界性定理

设f(x)在[a,b]连续，则：\(\exists K>0,使得|f(x)| \leq K, \forall x \in[a,b]\)

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最值定理

设f(x)在[a,b]连续，则：\(当m\leq \mu \leq M时，其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小最大值\)

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介值定理

设f(x)在[a,b]连续，则：\(当m\leq \mu \leq M时，则\exists \xi \in (a,b),使得f(\xi)=0\)

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零点定理

设f(x)在[a,b]连续，则：\(当f(a) \cdot f(b)<0时，则\exists \xi \in (a,b),使f(\xi)=0\)

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间断的定义

\(设f(x)在 x=x_{0}点的某去心领域有定义\)

1⃣️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{+}}}f(x)\)2⃣️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{-}}}f(x)\)3⃣️ \(f(x)\)

第一类间断点 1⃣️ 2⃣️ 均存在，且

1⃣️\(\neq\) 2⃣️: \(x_{0}\)为跳跃间断点1⃣️ = 2⃣️ \(\neq\) 3⃣️: \(x_{0}\)为可去间断点

第二类间断点 1⃣️ 2⃣️ 至少一个不存在（目前为止考研只考了 1⃣️ 2⃣️均不存在）

若不存在 = \(\infty \Rightarrow\)无穷间断点若不存在 = 震荡 \(\Rightarrow\)

【Note】

单侧定义不讨论间断性若出现左右一边是震荡间断，一边是无穷间断，则我们应该分侧讨论

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Part II 导数与微分

一元函数微分的定义

\(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} 记为{f}'(x_{0})\)

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一元函数定义注意点

左右有别

\(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 右导数\)\(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{-}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 左导数\)\(因此{f}'(x_{0})存在\Leftrightarrow {f}'_{-}(x_{0}={f}'_{+}(x_{0})\)

广义化狗

\(\triangle x \rightarrow (广义化)狗\)\(\lim \limits_{狗 \to 0} \frac{f(x_{0}+狗)-f(x_{0})}{狗}\)

一静一动

\(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}-\triangle x)}{2\triangle x}={f}'(x_{0})...就是典型错误\)

换元法

\(换元法，令x_{0}+\triangle x =x \Rightarrow \lim \limits_{ x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}={f}'(x_{0})\)

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基本求导公式

\({(x^a)}'=ax^{a-1}\)\({(a^x)}'=a^xlna\)\({(e^x)}'=e^x\)\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)\({(sinx)}'=cosx\)\({(cosx)}'=-sinx\)\({(tanx)}'=sec^2x\)\({(cotx)}'=-cscx^2x\)\({(secx)}'=-secxtanx\)\({(cscx)}'=-cscxcotx\)\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^2}\)\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^2}\)\({(ln(x+\sqrt{x^2+1}))}'=\frac{1}{x^2+1}\)\({(ln(x+\sqrt{x^2-1}))}'=\frac{1}{x^2-1}\)

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基本求导方法

复合函数求导、隐函数求导、对数求导法、反函数求导、参数方程求导

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复合函数求导

复合函数一层层分层求导，幂指函数化为复合指数函数

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隐函数求导

显函数：y=f(x),隐函数F(x,y)=0方法：在F(x,y)=0两遍同时对x求导，只需注意y=y(x)即可(复合求导)

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对数求导法

对多项目相乘、相除、开方乘方得来的式子，先取对数再求导，称为对数求导。

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反函数求导

\(\frac{dy}{dx}={y}' \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{{y}'}\)

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参数方程求导

\(\begin{cases} {x=x(t)} &\\ {y=y(t)} \end{cases},t为参数\)

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显函数

解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。

一个函数如果能用形如 的解析式表示，其中 分别是函数的自变量与因变量，则此函数称为显函数，如 等都是显函数。

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隐函数

隐函数（implicit function）是由隐式方程所隐含定义的函数，比如\(y={\sqrt {1-x^{2}}}\)是由\(x^{2}+y^{2}-1=0\)确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如\(y=\cos(x)\)。

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Part III 中值定理与一元微分学应用

1. 中值定理

费马定理

\[设f(x)在x=x_{0}处 \begin{cases} 1) & 可导 \\ 2) & 取极值 \end{cases} \Rightarrow {f}'(x_{0})=0 \]

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罗尔定理

\[设f(x)满足以下三个条件 \begin{cases} 1) & [a,b]连续 \\ 2) & (a,b)可导 \\ 3) & f(a)=f(b) \end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=0 \]

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拉格朗日中值定理

\[设f(x)满足以下两个条件 \begin{cases} 1) & [a,b]连续 \\ 2) & (a,b)内可导 \end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

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柯西中值定理

\[设f(x)，g(x)满足 \begin{cases} 1) & [a,b]连续 \\ 2) & (a,b)内可导 \\ 3) & {g}'(x)\neq0 \end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 \frac{{f}'(\xi)}{{g}'(x)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

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柯西、拉格朗日、罗尔三者间的关系

柯西中值定理 → 拉格朗日中值定理 → 罗尔定理。But 拉格朗日中值定理 !→ 柯西中值定理

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涉及f(x)的应用，可能需要用到的定理

有界性定理，最值定理，介值定理，零点定理

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罗尔定理的应用范式

\(f(a)=f(b) \Rightarrow {f}'(\xi)=0\)

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罗尔定理的关键，以及达成这个关键的两个途径

关键：\(F(a)=F(b) \Rightarrow {F}'(\xi)=0\) 两个途径：

求导公式逆用法积分还原法

将欲证结论中的\(\xi 改为 x\)积分，令c=0移项，使等式一端为0，则另一端记为F(x)

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2. 单调性与极值

导数的几何应用有哪些

三点两性一线：极值点、最值点、拐点；单调性，凹凸性；渐近线

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极值的定义需要注意的地方

必须是双侧定义，否则不考虑极值

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广义极值

\(\exists x_{0}的某个邻域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，则x_{0}为f(x)的真正极大值点\)

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狭义极值（真正极值）

\(\exists x_{0}的某个【去心】邻域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，则x_{0}为f(x)的真正极大值点\)

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单调性与极值判别

\(若{f}'(x)>0, \forall x \in I，则f(x)在I上单调递增；若{f}'(x)<0, \forall x \in I，则f(x)在I上单调递减；\)\[ 若f(x)在x= x_{0}处连续，在U(x_{0}, \delta)内可导，则\begin{cases} 当x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})时, {f}'(x)<0，当x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)时，{f}'(x)>0，\Rightarrow 极小 \\ 当x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})时, {f}'(x)>0，当x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)时，{f}'(x)<0，\Rightarrow 极大 \\ 若{f}'(x)在(x_{0}-\delta, x_{0})与(x_{0}, x_{0}+\delta)内不变号 \Rightarrow 不是极值 \end{cases} \]\(若f(x)在x=x_{0}处二阶可导，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})>0 \Rightarrow 极小值；若f(x)在x=x_{0}处二阶可导，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})<0 \Rightarrow 极大值\)

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3. 零碎问题

函数的凹凸性

\[\forall x_1, x_2 \in I, 有:\begin{cases} \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} > f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)， 是凹曲线 \\ \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} < f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)， 是凸曲线 \end{cases} \]

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函数拐点

连续曲线凹凸弧的分界点

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拐点判别法

设f(x)在I上二阶可导

\( \begin{cases} 若{f}''(x_0)>0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凹的 \\ 若{f}''(x_0)<0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凸的 \end{cases} \)\(若f(x)在x_0点的左右邻域{f}''(x)变号 \Rightarrow (x_0,f(x_0))为拐点\)

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铅直渐近线

\(若\lim \limits_{x \to x_0^+(或x_0^-)}f(x)=\infty，则称x=x_0为f(x)的一条铅直渐进线\) 出现在：无定义点 || 开区间端点

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水平渐近线

\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}f(x)=A，则称y=A为f(x)的一条水平渐进线\)

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斜渐近线

\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)} \frac{f(x)}{x}=a\neq0，且\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}[f(x)-ax]=b \exists,则称y=ax+b为f(x)的一条斜渐进线\)

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函数的最值的求法

$对于函数f(x)，在[a,b]上找出三类点\begin{cases}{f}'x=0 \Rightarrow x_0驻点 \{f}'(x)!\exists \Rightarrow不可导点 \端点a,b\end{cases}$\(比较f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)大小取其最大(最小)值为最大(最小)值\)\(若在I上求出唯一极大(极小)值点，则由实际背景确定最大(小)值\)

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Part IV 一元函数积分学

不定积分定义

\(\forall x\in I,\ 使{F}'(x)=f(x)成立，则称F(x)在f(x)在I上的一个原函数。全体原函数就叫不定积分，记成：\int f(x)dx=F(x)+C\)

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定积分定义

\(\int_{a}^{b} f(x)dx\)

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不定积分与定积分的几何意义

\(\int f(x)dx为函数族，\int_{a}^{b} f(x)dx 为面积代表值\)

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牛顿-莱布尼兹公式 / N-L 公式

\(\int_{a}^{b} f(x)dx =F(x)\mid_{x=a}^{x=b}=F(b)-F(a)\)

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基本积分公式

\(\int x^kdx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C\)

\( k\neq1 \begin{cases} \int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C \\ \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C \end{cases} \)

\(\int \frac{1}{x}dx = lin|x|+C\)

\(\int a^xdx=\frac{1}{lna}a^x+C，a>0, a\neq1\)

\(\int e^xdx=e^x+C\)

\(\int sinxdx=-cosx+C\)

\(\int cosxdx=sinx+C\)

\(\int tanxdx=-ln|cosx|+C\)

\(\int cotxdx=ln|sinx|+C\)

\(\int secxdx=ln|secx - tanx|+C\)

\(\int cscxdx=ln|cscx - cotx|+C\)

\(\int sec^2xdx=-cotx+C\)

\(\int secxtanxdx=secx+C\)

\(\int secxcotxdx=-cscx+C\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C\)

\(\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C\)

\(\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan{\frac{x}{a}}+C\)

\(\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{a+x}{a-x}}+C\)

\(\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{x-a}{x+a}}+C\)

\(\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\)

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点火公式(华里士公式)

$ I_n=\int_{\frac{\pi}{2}}{0}sinnxdx=\int_{\frac{\pi}{2}}{0}cosnxdx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & n为正整数 \\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} & n为大于1的正奇数\end{cases}$偶数时点火成功乘 \(\frac{\pi}2\)，奇数时点火失败以 1 打止​​Back to TOC​​

积分-换元法的三板斧

当凑微分法不成功时，考虑换元，从而使题目从复杂变简单

三角换元

\(三角换元--当被积函数f(x)含有\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}\)

\(\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=asint,(-\frac{\pi}{2}0,0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\\ x<0,\frac{\pi}{2}\leq t \leq \pi\end{cases}\)Note：\(若见到\sqrt{ax^2+bx+c}，要先化为\sqrt{\phi^2(x)-k^2}，\sqrt{k^2-\phi^2(x)}，\sqrt{\phi^2(x)+k^2}，再做三角换元\)

倒带换\((x=\frac{1}{t})---可用于分子次数明显低于分母次数的情况\)复杂部分换元——令复杂部分=t\(\begin{cases}\sqrt[n]{ax+b}ax+b=t，\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t，\sqrt{ae^{bx}+c}=t，(根式代换)\\ a^x,e^x=t，(指数代换) \\ lnx=t，(对数代换)\\ arcsinx,arctanx=t，(反三角函数代换)\end{cases}\)

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分部积分法

\(\int udv=uv- \int vdu (前面的积分困难，后面的积分简单)\) 反对幂指三，排前面的求导，排后面的积分

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有理函数积分法

定义:\(形如\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx,(n

\(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 产生k项\)：\(\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_k}{(ax+b)^k},k=1,2 \cdot \cdot \cdot\)\(Q_m(x)分解出(px^2+qx+r)^k \Rightarrow 产生k项\)：\(\frac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r} + \frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k},k=1,2 \cdot\cdot\cdot\)

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积分中值定理

\(若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则\exists \xi \in (a,b)，使得\int_a^bf(x) = f(\xi)(b-a)\)

\(若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，g(x)在闭区间[a,b]上不变号且可积，则\exists \xi \in (a,b)，使得\int_a^bf(x)g(x) = f(\xi)\int_a^bg(x)\)

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定积分的计算

\(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\)

先按四大积分法求出F(x)带入上下限，要注意换元时的细节：\(对于\int_a^bf(x)dx=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f[\phi(t)]{\phi}'(t)dt, (令x=\phi(t))；且要求{\phi}'(t) 连续，且x=\phi(t)不超过区间[a,b]\)

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用积分表达和计算平面图形的面积

\(y=y_1(x), y=y_2(x), x=a, x=b, (a < b) 所围成的平面图形的面积：\)

\(S=\int_a^b|y_2(x)-y_1(x)|dx\)

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用积分表达和计算旋转体的体积

\(y=y(x)与x=a,x=b, (a < b ) 及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：V=\int_a^b\pi y^2(x)dx\)\(y=y(x)与x=a,x=b,( a < b ) 及x轴所围图形绕y轴旋转一周所得的旋转体体积为：V_y=\int_a^b2\pi x |y(x)|dx, (柱壳法)\)

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用积分表达和计算函数的平均值---y(x)在[a,b]上的平均值是

\(y(x)在[a,b]上的平均值\overline{y}=\frac{\int_a^by(x)dx}{b-a}\)

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Part V 多元函数微分学

多元函数微分的极限定义

\(设f(x,y)的定义域为D,P_0(x_0,y_0)是D的聚点(=内点+边界点), \forall \epsilon>0,\exists \delta>0,当P(x,y)\in D \cap U(P_0, \delta )时，恒有|f(x,y)-A|<\epsilon \Rightarrow \lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=A\)

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多元函数微分的连续性

\(\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0),则称f(x,y)在（x_0,y_0）处连续\)\(【注】\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y) \neq f(x_0,y_0),叫不连续，不讨论间断类型\)

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多元函数微分的偏导数 z=f(x, y)

\(\frac{\partial f }{\partial x}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_x(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim_{\triangle x \to \infty}\frac{f(x\_0+\triangle x, y\_0)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle x}\)\(\frac{\partial f }{\partial y}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_y(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim\_{\triangle y \to \infty}\frac{f(x\_0, y\_0+\triangle y)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle y}\)

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多元函数微分-链式求导规则

\(设z=f(u,v,w), u=u(y), v=v(x,y), w=w(x)。称x,y叫做自变量，u,v,w叫做中间变量,z叫因变量.\)\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)

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多元函数-高阶偏导数

\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)

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多元函数-无条件极值-必要条件

\(设z=f(x,y)在点(x_0, y_0)处\begin{cases} 一阶偏导数存在\\ 取极值 \end{cases} ，则{f}'_x(x_0, y_0)=0,{f}'_y(x_0, y_0)=0\) 【注】适用于三元及以上(常考2-5元)

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多元函数-无条件极值-充分条件

\[\begin{cases} {f}''\_{xx}(x\_0,y\_0)=A \\ {f}''\_{xy}(x\_0,y\_0)=B \\ {f}''\_{yy}(x\_0,y\_0)=C \end{cases} \Rightarrow \triangle=B^2-AC \begin{cases} <0 \begin{cases} A>0 \Rightarrow 极小值点 \\ A<0 \Rightarrow 极大值点 \end{cases} \\ >0 \Rightarrow 不是极值点 \\ =0 \Rightarrow 该法失效，另谋它法（概念题) \end{cases} \]

Note：只适用于二元​​Back to TOC​​

多元函数-条件极值-求法

提法：\(求目标函数u=f(x,y,z)在约束条件\begin{cases} M (x,y,z)=0\\ N(x,y,z)=0 \end{cases} 下的极值\)拉氏乘数法：

\(构造辅助函数F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda M(x,y,z)+\mu N(x,y,z)，(\lambda,\mu均可能取0)\)\(令{F}'(x)=0,{F}'(y)=0,{F}'(z)=0,{F}'(\lambda)=0,{F}'(\mu)=0\)\(解方程组 \Rightarrow P_i(x_i, y_i, z_i) \Rightarrow u(P_i)，比较 \Rightarrow取最大、最小者为最大值，最小值\)

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Part VI 重积分

二重积分的普通对称性

\(设D关于y轴对称，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(-x,y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(-x,y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)\(设D关于x轴对称，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(x,-y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(x,-y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)

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二重积分的轮换对称性（直角坐标系下）

轮换对称性：\(若将D中的x与y对调，可推出D不变，则：\iint_{D} f(x,y)dxdy=\iint_{D} f(y,x)dxdy，此即为轮换对称性\)

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二重积分直角坐标系下的积分方法

\(\iint_{D} f(x,y)d\sigma = \iint_{D} f(x,y)dxdy\)

\(X型区域（上下型）\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy\)后积先定限，限内画条线，先交下曲线，后交上曲线\(Y型区域（左右型）\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)dx\)

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二重积分极坐标系下的积分方法

\(d\sigma=d\theta\cdot rdr \Rightarrow \iint_Df(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(rcos{\theta},rsin{\theta})rdr\)

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二重积分中值定理

\(f(x,y)在有界闭区域D上连续，\sigma_{0}是D的面积，则在D内至少存在一点(\xi,\mu)，使得\iint_{D} f(x,y)d\sigma = f(\xi,\mu)\sigma_{0}\)

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Part VII 微分方程

微分方程的概念

\(F(x,y,{y}',{y}'',...,{y}^{(n)})=0\)阶数一方程中y的最高阶导数的阶数\(如：ysinx-{y}''=cosx+2就是二阶微分方程，\begin{cases} n=1,一阶\\ n\geq2,高阶 \end{cases}\)通解 --- 解中所含独立常数的个数=方程的阶数

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一阶微分方程求解-变量可分离型

\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(x,y)=g(x)h(y)\Rightarrow\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=g(x)dx\Rightarrow\int\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=\int g(x)dx\)

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一阶微分方程求解-齐次型

\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(\frac{y}{x})\Rightarrow y=ux \Rightarrow {y}'={u}'x+u \Rightarrow {u}'x+u=f(u) \Rightarrow \frac{\text{du}}{\text{dx}}x=f(u)-u \Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\Rightarrow \int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}{x}\)

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一阶微分方程求解-一阶线性型

\(形如:{y}'+p(x)y=q(x), p(x),q(x)为已知函数 \Rightarrow y=e^{-\int p(x)dx}(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\)

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二阶常系数齐次D.E.求解：\(y''+py'+qy=0\)

\(写\lambda^2 + p\lambda+q=0 \Rightarrow \triangle=p^2-4q\)\(\begin{cases} \triangle>0 \Rightarrow \lambda_1\neq\lambda_2 \Rightarrow y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x} \\ \triangle=0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda \Rightarrow y(C_1+C_2x)e^{kx} \\ \triangle<0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{4q-p^2}i}{2}=\alpha\pm\beta i\Rightarrow y=e^{\alpha x}(C_1cos{\beta x})+C_2sin{\beta x}) \end{cases}\)

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二阶常系数非齐D.E.求解：\(y''+py'+qy=f(x)\)

\(f(x) = P_n(x) e^{kx}\)型

解法

解的结构：\(y_{通解}=y_{齐次通解}+y_{非齐次特解}^*\)求齐次通解：按照前面的方法求出求特解：

设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)（其中\(Q_n(x)\)由\(P_n(x)\)得到）由k与特征方程的根的情况决定是否要在\(y^*\)后面乘上x或\(x^2\)

\(\lambda _1 \neq k, \lambda_2 \neq k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)\(\lambda _1 = k, \lambda_2 \neq k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\times x\)（多乘一个x）\(\lambda _1 = \lambda_2 = k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x) \times x^2\)（多乘两个x）

求出\(y'^*,\ y''^*\)，带入原方程，化简，解出待定系数a，b将a，b带入\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)，即得特解

组合：最后结果为 齐次通解+特解

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