bzoj1061 [Noi2008]志愿者招募

bzoj1061 [Noi2008]志愿者招募

​​ 1061: [Noi2008]志愿者招募

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 162 MB Submit: 5261 Solved: 3155 [Submit][Status][Discuss]

Description

申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难 题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要 Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用 是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这 并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。 Input

第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负 整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了 方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。 Output

仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3 2 3 4 1 2 2 2 3 5 3 3 2 Sample Output

14 HINT

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

对于原blog的 为什么我这个方程出现了-x[i]我要向x[i]连边 因为我整个网络通过模型的这个转化变成了流量守恒的节点 那么有x[i]就代表我可以给出流量用于平衡 这是以每个方程构成流量守恒来满足我的网络流的性质 那么-x[i]表示我这个点要出x[i]的流量 那么就可以转移给x[i]的点 所以原题解中的y[i] 还有那个常数都是同理的qwq （瞎说Ing

把原文粘了过来qwq

不得不说原blog太强啦

​​ 例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示： 种类 1 2 3 4 5 时间 1-2 1-1 2-3 3-3 3-4 费用 3 4 3 5 6 设雇佣第i类志愿者的人数为X[i]，每个志愿者的费用为V[i]，第j天雇佣的人数为P[j]，则每天的雇佣人数应满足一个不等式，如上表所述，可以列出 P[1] = X[1] + X[2] >= 4 P[2] = X[1] + X[3] >= 2 P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5 P[4] = X[5] >= 3 对于第i个不等式，添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其变为等式 P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4 P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2 P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5 P[4] = X[5] - Y[4] = 3 在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0，每次用下边的式子减去上边的式子，得出 ① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4 ② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2 ③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3 ④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2 ⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3 观察发现，每个变量都在两个式子中出现了，而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0。接下来，根据上面五个等式构图。 每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。 如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。 如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i]，在第k个等式中出现为-X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为V[i]的有向边。 如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i]，在第k个等式中出现为-Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为0的有向边。 构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。 根据上面的例子可以构造出如下网络，红色的边为每个变量X代表的边，蓝色的边为每个变量Y代表的边，边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记，因为都是容量∞，权值0)。

在这个图中求最小费用最大流，流量网络如下图，每个红色边的流量就是对应的变量X的值。

所以，答案为43+23+3*6=36。 上面的方法很神奇得求出了结果，思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形，得出以下结果 ① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0 ② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0 ③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0 ④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0 ⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0 可以发现，每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减，右边都为0，恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。 我写的是朴素的SPFA算法求增广路的最小费用流算法，可以在题目时限内通过所有测试点。 在NOI的现场上，该题得分的平均分12.56，只有高逸涵大牛拿到了满分。不能不说这是一道难题，难就难在抽象出问题的数学模型，设计有效的算法。而信息学竞赛正朝着这个方向发展，数学建模将是解决问题的共同关键步骤。

#include#include#include#include#define N 2200#define inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;inline char gc(){ static char now[1<<16],*S,*T; if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if (T==S ) return EOF;} return *S++;}inline int read(){ int x=0;char ch=gc(); while(ch<'0'||ch>'9') ch=gc(); while(ch<='9'&&ch>='0'){x=x*10+ch-'0';ch=gc();} return x;}struct node{ int y,z,next,c;}data[110000];int num=1,h[N],flag[N],f[N],pre[N],path[N],S,T,n,m,a[N];inline void insert1(int x,int y,int z,int c){ data[++num].y=y;data[num].next=h[x];h[x]=num;data[num].z=z;data[num].c=c; data[++num].y=x;data[num].next=h[y];h[y]=num;data[num].z=0;data[num].c=-c;}inline bool spfa(){ memset(f,0x3f,sizeof(f));memset(flag,0,sizeof(flag));queueq;q.push(S);flag[S]=1;f[S]=0;memset(pre,-1,sizeof(pre)); while(!q.empty()){ int x=q.front();q.pop();flag[x]=0; for (int i=h[x];i;i=data[i].next){ int y=data[i].y,z=data[i].z,c=data[i].c; if (f[x]+c

这题的单纯形做法：

首先因为这个不是求标准的单纯形 所以按照2016年集训队论文中的做法

首先变成原矩阵的一个转置例如样例

我写的做法因为参考了icefox巨佬的做法 所以并没有储存所有的基变量 大概省常数.. 就每次换进去 都是直接存在我要替换的那一位上了 比如样例

min{2x1+5x2+2x3}

x1+0+0>=2

x1+x2+0>=3

0+x2+x3>=4

那么，根据论文，这个方程等价于：

max{2x1+3x2+4x3}

x1+x2+0<=2

0+x2+x3<=5

0+0+x3<=2

#include#include#include#include#define M 10010#define N 1010#define eps 1e-7#define inf 0x3f3f3f3f3using namespace std;inline char gc(){ static char now[1<<16],*S,*T; if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if (T==S) return EOF;} return *S++;}inline int read(){ int x=0;char ch=gc(); while(!isdigit(ch)) ch=gc(); while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=gc(); return x;}double a[M][N];int n,m;inline void pivot(int e,int l){ static double t;t=a[l][e];a[l][e]=1; for (int i=0;i<=n;++i) a[l][i]/=t; for (int i=0;i<=m;++i){ if (i==l||abs(a[i][e])eps) {e=i;break;} if (!e) return;static double mn;mn=inf; for (int i=1;i<=m;++i) if (a[i][e]>eps&&mn>a[i][0]/a[i][e]) mn=a[i][0]/a[i][e],l=i; if (!l) return;pivot(e,l); }}int main(){ freopen("bzoj1061.in","r",stdin); n=read();m=read(); for (int i=1;i<=n;++i) a[0][i]=read(); for (int i=1;i<=m;++i){ static int s,t;s=read();t=read(); for (int j=s;j<=t;++j) a[i][j]=1;a[i][0]=read(); }simplex(); printf("%d\n",-(int)a[0][0]); return 0;}

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