高等数学笔记第九天

高等数学笔记第九天

常数项级数：

概念： 用圆内接正多边形面积逼近圆面积，依次作圆内接正 3*2^n (n=0,1,2 ... L)边形，设  a0 表内接正三角形面积，ak 表增加的面积， A = a0+ a1+L + an+ L;

定义： 给定一个数列，u1,u2,L , un, 其为  常数项无穷级数(一般项，或者通项): u1 + u2 + L + un + L 的部分

部分和：

敛散性：

等比级数（几何级数）：

敛散性:   |q| <1 时，等比极数收敛；

|q| >=1 时， 等比级数发散；   其中，q指的是 等比公项；

性质1:  若等比级数收敛，则其k倍仍然收敛；

另： 收敛级数 + 发散级数 = 发散级数；  发散级数+ 发散级数 不一定= 发散级数；

如： Un = (-1)^(2n)   Vn = (-1)^(2n+1);

性质3： 在级数中去掉 有限项，不影响敛散性；

性质4： 若加括号后的级数发散，则原级数必发散；（发散级数 去 括号后  所形成的 级数 必发散）

注意： 收敛级数 去 括号后 所形成的 级数不一定收敛；

若级数收敛，则对级数的项任意加括号后仍收敛；

收敛级数的必要条件：

常数项级数审敛法：

A.正项级数：

1.定义法： 部分和极限存在；

正项级数 Un >=0   <==> 部分和数列Sn 有界；（不常用）

2.比较审敛法：

3.P级数：

当  0

当  p>1时， p级数收敛；

4.比较审敛法的极限形式：

当 0

理解： 实质上 跟 比较审敛法是一致的。

5.正项级数审敛法的乘法形式：

若 p>1  或者 p = ∞时， 级数收敛。

理解：实际上，该形式将  P级数 与 比较审敛法 相结合。   其限定条件就是：L 为非零常数。

比较审敛法 与  该形式的 判断对象不同。 一个是比值；  一个是 P级数的参数。

因此，相应的特性与比较审敛法不同；  但是，与p级数不谋而合。

6.比值审敛法（达朗贝尔判别法）：

则： 若 0<= ρ<1时，级数收敛；

若 ρ>1  或者  ρ=∞时，级数发散；

注意，这里刚好与p级数的情况相反；  其原因是：  判别方式不同了，因此也就不能强硬比对。

理解:  可以从通项 与 和  的角度理解。

若 ρ=1时，不能适用；

理解： 这里的比值为1，不是单纯指两个常数比值为1。  而是指 处于该常数序列的最后(不存在)的两个常数。  也就是极限比值为1。    就如等价无穷小替换一样。    因此不能简单的理解为两个常数；

例证 就是：   P级数；

B.交错级数审敛法（符号一正一负交替出现）：

1.莱布尼兹定理：

若交错级数满足条件：

1.若  U n >= U n+1 ,(数值分布而言)；

理解：  这里也可以从  通项 与 和的角度理解。

2.绝对收敛的级数一定收敛.(判断交错级数的敛散性  或者 一般级数)；

函数项级数：

函数项级数的概念：

对 x0 ∈ I, 若它 收敛，则称 ： x0 为 收敛点，所有的收敛点全体称为 收敛域；

若它 发散，则称： x0为发散点， 所有的发散点全体称为发散域；

|x| >1时，发散.

理解： 有点类似于 二重积分。   看成两个维度，  一个由 n  负责，它完成级数的功能；   一个由x 负责， 它完成函数的功能。

A.幂级数：

幂级数的标准形式：

幂级数收敛域特点：

关于原点对称；

阿贝尔定理：

若幂级数在 x= x0 (x0=/=0) 处收敛，则此幂级数在满足不等式  |x|<= |x0|的一切x处绝对收敛。 (x0 称为收敛半径，记作R)

反之，若幂级数在x = x0 处发散，则对于 |x| > |x0| 处的x发散；

当R = 0时，幂级数仅在x = 0 处收敛；

当R = +∞时，幂级数在 （-∞，+∞）收敛；

当R =/=0 和 +∞ 时，

当|x| < R 时，幂级数绝对收敛；

当|x| > R 时， 幂级数发散；

当|x| = R 时，可能收敛，也可能发散，需要单独讨论；

理解，它对应了  比值审敛法的  比值为1的情况。

则 当   ρ=/= 0 时， R = 1/ ρ;

当   ρ=0  时， R  = +∞；

当  ρ= +∞时，R = 0；

幂级数的运算：

运算后的收敛域 =  min{r1,r2};

连续性： 和函数在 收敛域内 连续；

可积性： 和函数在收敛区间可积分，并且可逐项积分；

可导性： 和杉树在收敛区间可导 ，且可  逐步求导；

B.泰勒级数：

当 x0 =0 时，称为：  麦克劳林级数；

展开成泰勒级数的充要条件：  通项的极限 为 0；

展开的方法包括：

1.直接展开法，利用泰勒公式；

2.间接展开法, 利用已知函数 形式转化；

eg: 将 1/(1+x^2)  展开成幂级数：

eg: 将 f(x)  = ln(1+x) 展开成 幂级数：

理解：它们的关键在于： 处理好 形参，与实参，以及处理过程，复合函数，的区别与联系；

C.傅里叶级数：

定理一：

组成三角级数的 函数系： cosx , sinx , cos2x,sin2x,... ,cosnx sinnx,L 在 [-π，π] 上 积分等于0

定理二：

则有 傅里叶系数：

定理三(迪利克雷充分条件):

设 f(x) 是周期为 2π 的周期函数，若满足：

1.在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点

2.在一个周期内至多有有限个极值点

则 f(x) 的傅里叶级数收敛，其收敛点为：

定理四：

正弦级数 与 余弦级数：

若f(x) 为 奇函数， 则 f(x)cosnx 是 奇函数， f(x)sin nx  是 偶函数；

若 f(x)为 偶函数， 则 f(x)cos nx 为偶， f(x)sin nx 为 奇，

2019.3.28补充：

前面的笔记是 上课时记录的，由于当时接近期末，加之这部分内容有些难，因此笔记的逻辑很乱。   尽管经过梳理，仍然不是很顺畅的理解。 因此将书本上的几个遗漏的重要的知识点拉一遍。

级数的概念和性质：

1.级数的提出：

人们在认识事物在数量方面的特性， 往往有一个由近似到精确的过程， 这个过程中， 会遇到 由有限个数量相加  到  无限个数量相加的 问题。  给定一个数列： u1,u2,u3.... ui .... ,  ui 称为：  一般项；    Sn = u1+..+ui, 称为部分和；    对于新的数列：  S1, S2,S3....Sn, ..., 根据这个数列有无极限，引入无穷级数收敛与发散的概念。

2.理解：   收敛的级数，收敛于 Sn,   S与 Sn 相差一个Ui 的高阶无穷小；

3.性质：  a.数乘不变；

b.收+收=收；  收+发=发；

c.删减有限项，不影响敛散性；

e.收敛级数加括号后仍收敛； 加括号的级数发散，则原级数必发散；

f.收敛的必要条件：  一般项 趋于零；

逆否命题：  一般项不趋于零，则 必发散；

4.柯西审敛原理：

收敛的充要条件是： 级数和 -前n项和的  余项 小于任意正整数；

常数项审敛法补充：

对于常数项级数， 绝对收敛的级数，必收敛；

证明思路：   令  Vn  = (Un+|Un|)/2；  利用相关性质(比较审敛法)得证；

绝对收敛级数的性质：

1.绝对收敛级数  改变项位置后，仍收敛；

2.绝对收敛级数 的 柯西乘积 收敛；

幂级数补充：

1.幂级数运算法则：

和函数连续，可积分，可求导；

2.函数展开成幂级数：

a.直接展开：利用泰勒级数：

级数的系数  都可由 函数的对应阶导数表示；

函数可展开成泰勒级数的充要条件：  泰勒公式的余项  当趋于无穷时，极限为 零；

b.间接展开：利用已知的函数展开式：

五个最常用与最基本的幂级数展开式：

3.函数的幂级数展开式应用：

a.近似计算；   b.解微分方程；

c.欧拉公式：揭示了 三角函数 与  复变量指数函数之间的一种关系；

一般函数项级数敛散性 及性质：

略；

周期为2Pi的傅里叶级数：

1.相关概念：

三角级数：  由三角函数组成的  函数项级数；

三角函数系： 1,cosx, sinx  cos2x,sin2x ...  cos nx, sinnx,....

正交性： 三角函数系中，任意两个不同的两个函数乘积  在区间[-Π，Π]上的积分等于零；

2.提出：

周期函数反映了客观世界中的周期运动。   正弦函数是一种简单而常见的周期函数。

在实际问题中，会遇到非正弦函数的周期函数，反映了较复杂的周期运动，如矩形波。   为了深入研究这类复杂的周期运动函数，通过将复杂的周期函数  展开成  由简单的周期函数 组成的级数；

3.三角级数的形式表示：

4.傅里叶级数的形式表示：

将傅里叶系数 ，代入三角级数中：

5.三角级数的敛散性：

迪利克雷充分条件，内容见上；

6.正弦级数与余弦级数：

周期性的不同，傅里叶系数表现形式不同，产生正余弦级数；  内容见上；

一般周期函数的傅里叶级数：

略。  如有需要，再来补充。

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