线性代数笔记第三天

线性代数笔记第三天

内积：

性质:

1. [x,y] = [y,x] ;

2. [λx,y] = λ[x,y] ;

3. [x+y, z] = [x,z] + [y,z];

4. [x,x ] > 0, 则 x μ(不全为)  0；   若 [x,x] =0, 则 x =0;

柯西-斯瓦兹不等式：

长度：

为向量 x 的长度， 记作 ||x|| ;

性质：

1. ||x|| >0 , x=/= 0;  ||x|| =0, x=0;

2.  ||λx|| = |λ| *||x|| ;

3.  ||x+y|| <= ||x|| + ||y|| ;

4.  [x,y] =0   <==> x ⊥y  ，称：  向量  x 与 y  正交；

定理：

若向量组  a1,a2,...am 中  不含零向量，且两两正交，则向量组  a1,a2,... am 线性无关；

单位正交基：

若 e1,e2 ... en 两两正交， 且 都是单位向量，则称为 单位正交基底；

施密特正交化过程：

1.正交化：

...........

2.单位化：   每个分量除以 它 的长度；

正交矩阵：

若n阶矩阵 A  满足   A ^t A = E ,  则 称  A 为正交矩阵， 且  A ^-1 =  A ^t ；

正交变换：

若 P 为正交矩阵， 则线性变换  y = p*x 称为 正交变换；  则  :

特征值：

设A 为n 阶方阵， 若存在数 λ  及  非零向量 x  使得   Ax = λx， 则称 数 λ  为A 的特征值， x 为A 的对应于 λ的特征向量；

注意：   1.  对应于 同一特征值的特征向量不唯一；

2. 一个特征向量不能对应于不同的特征值；

求λ 的方法：  (A- λE)x =0,  |A-λE| =0；

求对应λ的x 的x 的方法：   求矩阵 (基础解系) (A - λE)   x=0 的解；

特征多项式 f(λ):

性质：

1. kλ 是 kA 的特征值；  即  ：   kAx = kλx

2. λ^m 是  A^m  的特征值；  即： A^m* x = λ^m *x;

且对应特征向量相同。

4.φ(x) 为x 的多项式， 则φ(λ) 是  φ(A)的特征值；

5. λ^ -1 * |A|  是 A^* 的特征值， 即  A^* x = λ^-1 |A| x;

6. n 阶矩阵A ， |A - λE| 最多有 n 个解；

设： λ1，λ2... λm 是方阵A 的特征值， p1,p2... pm  是 依次之对应的特征向量。  若  λ1，λ2...λm 各不相等，则 p1,p2,...pm 线性无关。  即 方阵A 的不同特征值的特征向量线性无关；

相似矩阵：

设A，B 都是 n阶  矩阵， 若存在 可逆矩阵  P ，   St p^-1 A p= B , 则 称  A 相似于 B ；

注：  相似关系 是一种等价关系， 具有反身性， 传递性；

相似矩阵具有相同的  特征多项式， 特征值；

矩阵可对角化的条件:

n阶矩阵A 有  n个线性无关的特征向量 <==>  n阶矩阵A 与对角阵相似.(A 可对角化)；

对角化的方法：

求λ;

1. 若  无重根， 则能对角化， p =(x1,x2....)

2. 若  有重根 ， 求特征向量的个数。   若为 n, 则能对角化；   若

由特征值，特征向量求矩阵：

A = P B P^-1   A^100 = P B^100 P ^-1;  可应用于 求矩阵的幂；

实对称矩阵 一定可以对角化； 即可一找到正交矩阵 Q ：   St : Q^-1 A Q = Q^t A Q = 对角阵；

实对称矩阵的特征值  为 实数；

实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量正交；

二次型：

含有n个变量  x1,x2 ... xn 的二次齐次多项式：

称为二次型；

其中，只含有平放式的二次型  称为 二次型的 标准型；

二次型化为矩阵：

f = x^t A x , A 为对称矩阵，其中 非主对角线系数为原来的 1/2；

即：

称为 二次型的矩阵；

任给一个 二次型，就唯一确定一个对称矩阵，  任给一个对称矩阵，就唯一确定一个二次型；

二次型的主要问题： 求可逆的  线性变换  x=cy 把 二次型变为标准型；

x = cy;

若 C 可逆， 则称  x =cy 是 非退化线性变换；

若 C 正交， 则 称 x = cy 是 正交变换；

矩阵的合同:

设  A，B 是正交矩阵，若存在可逆矩阵  C  使得:   C^t A C = B , 则称矩阵 A 与 B 合同；

性质：   反身性，对称性，传递性；

矩阵的关系有:  等价，相似， 合同；

化二次型为标准型：

f=  x^t A x = y^t  c^t A c y = y^t p^-1 A p y;

正交相似变换法：

任意二次型  f, 总有  正交变换  x = py, 使之化为标准型：

, 其中， λ1，λ2... λn 是二次型f 的矩阵 A 的全部特征值；

正定二次型:

正惯性指数：  化为标准型后 系数为正的个数；

负惯性指数：  化为标准型后  系数为负的个数；

当  x不全为0， 若 f >0， 则称为  正定二次型；（若正惯性指数

当 x 不全为0， 若f <0, 则称为 负定二次型；

特征值 全大于0  <==> 正惯性指数 =n    <==>  正定二次型；

霍尔维斯定理：

A 正定   <==>  A 的各阶  主子式 全为 正；

A 负定  <==>  A 的奇数阶 主子式 全为 负，偶数阶 主子式  全为正；

主子式： 主对角线左上角 依次增大的子式；

2019.4.23 补充：

特征值，行列式，伴随矩阵，矩阵的迹的关系：

1.方阵的行列式等于 其所有特征值的乘积；

2. λ^ -1 * |A|  是 A^* 的特征值， 即  A^* x = λ^-1 |A| x;

3.矩阵的迹： 主对角线（左上至右下的那一条）上所有元素之和。记作tr(A)，其中A为方阵。

如 A,B 相似，则他们具有相同的迹。

4.若n阶方阵A的特征值为a1,a2,a3......an，则tr(A)=a1+a2+......+an。

矩阵相似对角化： ​​地址​​

2019.5.5 补充：

相似矩阵的秩为什么相等?

为什么相似矩阵具有相同的行列式?

正等矩阵及其性质：

2019.5.24补充：

矩阵的相似，等价，合同的关系：

矩阵相似 或 合同，则 必等价，反之不成立。

矩阵等价，只需满足   两矩阵可以通过一系列可逆矩阵相乘得到；

矩阵相似，则存在一个可逆矩阵P，使得： AP = PB;

矩阵合同，则存在一个可逆矩阵P，使得： P^TAP = B;

若P是正交矩阵，则既相似，也合同；

矩阵等价：针对矩阵而言，一般与初等变换有关，本质是同型矩阵的秩相等。

矩阵相似：针对方阵而言，秩相等是必要条件，本质是二者有相等的不变因子。

矩阵合同：针对方阵而言，秩相等是必要条件，本质是正惯性指数相等，即标准型相同。

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