邮票问题

邮票问题

邮票问题

已知一个 N 枚邮票的面值集合（如，{1 分，3 分}）和一个上限 K —— 表示信封上能够贴 K 张邮票。计算从 1 到 M 的最大连续可贴出的邮资。

例如，假设有 1 分和 3 分的邮票；你最多可以贴 5 张邮票。很容易贴出 1 到 5 分的邮资（用 1 分邮票贴就行了），接下来的邮资也不难：

6 = 3 + 3 7 = 3 + 3 + 1 8 = 3 + 3 + 1 + 1 9 = 3 + 3 + 3 10 = 3 + 3 + 3 + 1 11 = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 12 = 3 + 3 + 3 + 3 13 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1

然而，使用 5 枚 1 分或者 3 分的邮票根本不可能贴出 14 分的邮资。因此，对于这两种邮票的集合和上限 K=5，答案是 M=13。

输入：

第 1 行： 两个整数，K 和 N。K（1 <= K <= 200）是可用的邮票总数。N（1 <= N <= 50）是邮票面值的数量。 第 2 行至末尾： N 个整数，每行 15 个，列出所有的 N 个邮票的面值，面值不超过 10000。 输出：

一个整数，从 1 分开始连续的可用集合中不多于 K 张邮票贴出的邮资数。

样例输入：

5 2 1 3

样例输出：

13

分析：

1.数据分析：每个信封最多贴K(K<=200)张邮票，每张邮票的面值不超过10000，能贴出最大的邮资不超过2000000，可用一个数组来表示能够表示贴出每种邮资。

2.算法分析：

(1)搜索：每种邮票最多贴200张，总共50种，朴素的深搜规模将达到50^200。

(2)动态规划：

<1>阶段：能够构成每个面值为阶段。比如能构成的面值为1到V，那么总共为V个阶段。 <2>状态：dp[i]表示构成面值i所需要的最少邮票数. <3>决策：对于样例数据1和3两种面值的邮票： 构成邮资0：所需要邮票张数为0张，dp[0]=0; 构成邮资1：只能用1分的邮票，所需要邮票张数1张，dp[1]=1; 构成邮资2：只能用1分的邮票，所需要邮票张数2张，dp[2]=1; 构成邮资3： *1.若选择使用一张1分的邮票，dp[3]=dp[2]+1=3………dp[3-1]+1 *2.若选择使用一张3分的邮票，dp[3]=dp[0]+1=1………dp[3-3]+1 dp[3]=min{dp[2]+1,dp[0]+1}=1; 构成邮资4： *1.若选择使用一张1分的邮票，dp[4]=dp[3]+1=2………dp[3-1]+1 *2.若选择使用一张3分的邮票，dp[4]=dp[1]+1=1………dp[3-3]+1 dp[4]=min{dp[3]+1,dp[1]+1}=2; <4>状态转移方程：dp[i]=min{dp[i-a[j]]+1} i>=a[j] 1<=j<=n f[i]<=k;

代码:

#include #include using namespace std;int dp[2000001];int main(){ int a[51]; int i,j,k,n,m; while(scanf("%d%d",&k,&n)!=EOF) //k是可用的邮票总数,n是邮票面值的数量。 { for(i=0;i

实质就是背包问题：当前邮资i可以看作背包容量，每种邮票可以看作是一个物品，邮票的面值就是物品的体积，k可以看作是对物品数量的一个限制。

再来：

题目描述：

给定一个信封，最多只允许粘贴N张邮票，计算在给定K（N+K≤40）种邮票的情况下（假定所有的邮票数量都足够），如何设计邮票的面值，能得到最大值MAX，使在1～MAX之间的每一个邮资值都能得到。

例如，N=3，K=2，如果面值分别为1分、4分，则在1分～6分之间的每一个邮资值都能得到（当然还有8分、9分和12分）；如果面值分别为1分、3分，则在1分～7分之间的每一个邮资值都能得到。可以验证当N=3，K=2时，7分就是可以得到的连续的邮资最大值，所以MAX=7，面值分别为1分、3分。

样例输入： 3 2 样例输出： 1 3 MAX=7

这道题显然要先搜索出满足条件的面值组合，比如n=3,k=3时

在搜索时加入适当优化：

以n=3,k=3为例:第一个面值肯定为1，但是第二个面值只能是2，3，4，因为面值为1的最多贴3张，贴满的最大值为3,要保证数字连续,那么第二个数字最大只能是4。所以我们可以得到规律，如果邮票张数为n，种类为k,那么从小到大的顺序，邮票a[i]的下一种面值的取值范围必然是a[i]+1到a[i]*n+1 如图：

算法：深度优先搜索+动态规划

如果已知邮票的不同面值，可以用动态规划求出这些不同面值的邮票能组合出的最大连续数：

设dp[i]表示已知面值的邮票组合出面值为i所需要的最小邮票数，我们把已知的q种不同的邮票面值存在num中，则有状态转移方程： dp[i]=min{dp[i-num[j]]+1}

最后随着深度搜索不断枚举可能的面值组合，然后不断更新最大值即可。

代码：

#include int dp[4000001],a[40]={1},max_a[40];int max,n,k;void youpiao() //验证当前邮票组合的最大连续数{ int i=0,j; dp[0]=0; while(dp[i]<=n) { i++; dp[i]=99999; for(j=0;j=a[j];j++) if(dp[i-a[j]]+1max) //一旦当前最大数大于了max，就更新max，并把当前的组合方式存在max_a数组中. { max=i-1; for(j=0;j

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