Dijkstra算法

Dijkstra算法

Dijkstra算法是一个经典的算法——他是荷兰计算机科学家Dijkstra于1959年提出的单源图最短路径算法，也是一个经典的贪心算法。所谓单源图 是规定一个起点的图，我们的最短路径都是从这个起点出发计算的。算法的适用范围是一个无向（或者有向图），所有边权都是非负数。

算法描述： 节点集合V = {}空集合，距离初始化。 节点编号0..n – 1, 起点编号0≤ s < n。

距离数组

起点 d[s] = 0 其他 d[i] = ∞, 0 ≤ i < n,  i ≠ s。

循环n次 找到节点i 不属于 V，且d[i]值最小的节点i。 V = V + i 对所有满足j  V的边(i, j) 更新d[j] = min(d[j] , d[i] + w(i,  j))。

以下图为例，描述Dijkstra算法的运行过程：

初始，求A点到其他点的最短路径（也称单源最短路径）。

初始化A点

A点有3条边，AB（17），AE（16），AF（1）。

将3条边加入优先队列，此时队列中的元素为（只记录目标点）： {1 F} | {16 E} | {17 B}

取出队列中最小的元素，{1 F}，F点是一个未处理过的点，因此得到了A点到F点的最短距离。更新距离，变为：

处理F点，F点有4条边。FA（1），FB（11），FD（14），FE（33）。其中FA已经处理过，所以忽略掉。

将3条边加入优先队列，注意，此时加入队列时，所有边的权值需要加上F点到A点的最短距离1。此时队列中的元素为： {12 B} | {15 D}  | {16 E} | {17 B} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{12 B}，B点是一个未处理过的点，因此得到了A点到B点的最短距离。更新距离，变为：

处理B点，B点有4条边。AB（17），BF（11），BC（6），BD（5）。其中AB，BF已经处理过，所以忽略掉。

将2条的权值加上A到B的最短路径12，加入优先队列。此时队列中的元素为：

{15 D}  | {16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{15 D}，D点是一个未处理过的点，因此得到了A点到D点的最短距离。更新距离，变为：

处理D点，D点有4条边。其中DC（10），DE（4）没有处理过。

将2条的权值加上A到D的最短路径15，加入优先队列。此时队列中的元素为：

{16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{16 E}，E点是一个未处理过的点，因此得到了A点到E点的最短距离。更新距离，变为：

处理E点，E点所连接的边都已经被处理过了。

此时优先队列中的元素为：

{17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E} 取出队列中最小的元素，{17 B}，B点是一个已经处理过的点，因此继续后面的处理。

{17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{17 D}，D点是一个已经处理过的点，因此继续后面的处理。

{18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E} 取出队列中最小的元素，{18 C}，C点是一个未处理过的点，因此得到了A点到C点的最短距离。更新距离，变为：

Dijkstra算法的证明： i  V,  d[i] = min{d[x] + w(x, i), x  V} 我们证明节点i要进入集合V时，d[i]确实是s到i的最短路长度 。 归纳证明： 起初 d[s] = 0满足条件。

假设之前集合V中的点全部满足假设，现在要加入节点i   V，假设任意从s到i的路径P＝ s…x y…i。 其中s..x全部在V中, y  V。根据归纳假设d[x]是s到x的最短路长度。

根据d的定义，我们有d[x] + w(x,y) ≥ d[y]。 而且因为dijkstra选择最小的d加入，所以有d[y] ≥ d[i] 。 于是有路径P的长度， length(P) ≥  d[x] + w(x, y) + length(y..i) ≥ d[y] ＋ length(y..i)  ≥  d[y] ≥ d[i]。 从而d[i]也是最短路的长度。得证。

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