《数论概论》读书笔记 (第四章) 高次幂之和与费马大定理

《数论概论》读书笔记 (第四章) 高次幂之和与费马大定理

这章讲的东西就是费马大定理。很少的内容。

在18和19世纪高斯和欧拉证明了指数为3的方程没有解，狄利克雷与勒让德证明了5次方程没有解。 n>=3时方程：an+bn=cn没有整数解的这个一般性结论被称为“费马大定理”。这个就是高次幂之和。

至今，证明了存在无穷多个素数p使得ap+bp=cp没有解且p不整除abc。

习题解析： 1.

2.(1)关于方程a3+b3=c2有解(a,b,c)=(2,2,4) 这样的解显然是无穷的。 比如有：

1 2 32 2 42 46 3124 8 247 21 988 8 328 184 24969 18 8110 65 52511 37 22814 70 58816 32 19218 18 10818 414 842422 26 16825 50 37528 84 78432 32 25633 88 84734 450 954836 72 64837 407 821440 260 420044 148 182449 98 102950 50 50056 65 67156 280 470457 112 126157 456 974763 189 264664 128 153665 91 101465 104 118365 260 422570 105 122572 72 86478 273 456378 354 669681 162 218784 105 132388 104 134498 98 137299 333 6156100 200 3000

但是，这个解的通项公式是什么呢？根据题目提示，显然，(xz,yz,z2)既不是(a,b,c)满足a3+b3=c2的充分条件也不是必要条件。 对于一个数c，我们可以得到公式，x=(1+c3),y=c(1+c3)，z=(1+c3)2就是一组解。 验证：x3+y3=(1+c3)3+(c(1+c3))3=(1+c3)3(1+c3)=(1+c3)4=((1+c3)2)2.。

证明： 假设我们在找关于xn+yn=zm的解，当且仅当gcd(n,m)=1。

因为gcd(n,m)=1，所以am−bn=1或者am=bn+1。

假设x=ub,y=vb,z=wa,那么ubn+vbn=wam=wbn+1。

让v=cu . 那么ubn+vbn=ubn+(cu)bn=ubn+cbnubn=ubn(1+cbn)。

假设w=1+cbn, 我们得到，wbn+1=wwbn=wubn或者u=w。

所以，x=(1+cbn)b,y=cu=c(1+cbn)b,z=(1+cbn)a.。

令n=3,m=2，我们得到2a−3b=1。所以可以得到a=2,b=1。

所以，x=(1+c3),y=c(1+c3)，z=(1+c3)2就是一组解。但不是所有解。但根据这个公式可以找到无穷解。

(2).证明：如果有(a,b,c)满足a3+b3=c2，那么a′=a∗n2,b′=b∗n2,代入则有a3∗n6+b3∗n6=(a3+b3)∗n6=n6∗z2=(z∗n3)2。也就是说如果(a,b,c)满足a3+b3=c2,(a′,b′,c′)满足(a∗n2,b∗n2,c∗n3)，那么(a′,b′,c′)也一定满足a′3+b′3=c′2。所以，根据这个推论可以得到满足条件的该三元组也是无穷多的。

(3). ……对这一问感觉很无语….. 1.对于A=4r4−4p3r,B=8pr3+p4,C=20p3r3−p6+8r6，满足 A3+B3=C2 2.对于x=(1+c3),y=c(1+c3)，z=(1+c3)2，满足x3+y3=z2. 3…. 4….

(4).如果a=b，那么方程可以变形为2a3=c2，也就是说显然a必须是偶数，否则开方后就不能是整数了，所以假设a=b=2k，有c2=2(2k)3=16k3。 所以，c=4kk√. 要满足c为整数，那么要保证k为平方数。 所以，设a=b=2k2,那么c=2∗(2k2)3−−−−−−−−√=4k3，所以，(a,b,c)=(a,a,c)=(2k2,2k2,4k3)。

(5).​​​A050801​​

比如， 2793003+22344003=33432210002。 比如， 427942710075952892=143858644023+1222798474173=551721612783+1184857732893=641176429533+1161697222143=967049773693+975041920583 再比如， 471555724459350126960002=944057593615503+13050702636016503=3742244085442803+12948991765357203=7279592827780003+12249153117656003=8570108578122003+11681924254182003=10092375165600003+10613814549156003

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