错排公式略解

错排公式略解

pala提出的问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？ 这个问题推广一下，就是错排问题: n个有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。

当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.

第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;

第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-2个元素,有M(n-1)种方法;

综上得到

M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]

特殊地，M(1)=0,M(2)=1

下面通过这个递推关系推导通项公式:

为方便起见，设M(k)=k!N(k), (k=1,2,…,n)

则N(1)=0,N(2)=1/2

n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)

即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)

于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n!

因此

N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!

N(2)-N(1)=(-1)^2/2!

相加，可得

N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!

因此

M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]

可以得到

错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)

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