矛盾方程的最小二乘解

矛盾方程的最小二乘解

首先看两个个结论： 结论一：方程组Ax=b的最小二乘解的通式为

x=Gb+(I−GA)y

, 其中 G∈A{1,3}, y是Cn中的任意向量.

结论二：只有A是满秩时, 矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解才是唯一的, 且为x0=(AHA)−1AHb. 否则, 便有无穷多个最小二乘解. 下面看一个实例： 求矛盾方程组⎧⎩⎨x1+2x2=1,2x1+x2=0,x1+x2=0的最小二乘解。 解： 系数矩阵A=⎡⎣⎢121211⎤⎦⎥为列满秩矩阵，故矛盾方程有唯一最小二乘解：

A(1,3)=(AHA)−1AH=111[−477−411]

x0=A(1,3)b=111[−47]

下面是如何在Python中进行求解：

Python中的矩阵运算可以参考：

​​numpy矩阵运算​​

import numpy as npA = np.mat([[1, 2], [2, 1], [1, 1]])A13 = (A.H * A).I * A.Hprint(A13)

利用最小二乘法做线性拟合： 假设我们观测了一系列(xi,yi)值，且x和y近似满足线程方程是y=kx+b. 则我们将(xi,yi)的值带入线性方程yi=kxi+b得到方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪kx0+b=y0kx1+b=y1...kxn+b=yn

这里的

k和b为变量，使用上述公式求解出 k和b的值，则可以得到变量的最小二乘线性拟合方程。

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