bzoj1492 [NOI2007]货币兑换

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​​ 题目描述

小 Y 最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A 纪念券（以下简称 A 券）和 B 纪念券（以下简称 B 券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。

每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A 券和 B 券的价值分别为 AKA_KAK 和BKB_KBK （元/单位金券）。

为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。

比例交易法分为两个方面：

a) 卖出金券：顾客提供一个[0，100]内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将 OP%的 A 券和 OP%的 B 券以当时的价值兑换为人民币；

b) 买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为IP 的金券，并且，满足提供给顾客的 A 券和 B 券的比例在第 K 天恰好为 RateKRate_KRateK；

例如，假定接下来 3 天内的 AkA_kAk 、BkB_kBk 、RateKRate_KRateK 的变化分别为：

时间 AkA_kAk BkB_kBk RatekRate_kRatek

第一天 1 1 1

第二天 1 2 2

第三天 2 2 3

假定在第一天时，用户手中有 100 元人民币但是没有任何金券。

用户可以执行以下的操作：

时间 用户操作 人民币(元) A 券的数量 B 券的数量

开户 无 100 0 0

第一天 买入 100 元 0 50 50

第二天 卖出 50% 75 25 25

第二天 买入 60 元 15 55 40

第三天 卖出 100% 205 0 0

注意到，同一天内可以进行多次操作。

小 Y 是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经知道了未来 N 天内的 A 券和 B 券的价值以及 Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有 S 元钱，那么 N 天后最多能够获得多少元钱。 输入输出格式 输入格式：

第一行两个正整数 N、S，分别表示小 Y 能预知的天数以及初始时拥有的钱数。

接下来 N 行，第 K 行三个实数 AKA_KAK​ 、BKB_KBK​ 、RateKRate_KRateK​ ，意义如题目中所述。 输出格式：

只有一个实数 MaxProfit，表示第 N 天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留 3 位小数。 输入输出样例 输入样例#1： 复制

3 100 1 1 1 1 2 2 2 2 3

输出样例#1： 复制

225.000

说明

时间 用户操作 人民币(元) A 券的数量 B 券的数量

开户 无 100 0 0

第一天 买入 100 元 0 50 50

第二天 卖出 100% 150 0 0

第二天 买入 150 元 0 75 37.5

第三天 卖出 100% 225 0 0

本题没有部分分，你的程序的输出只有和标准答案相差不超过0.0010.0010.001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

测试数据设计使得精度误差不会超过 10−710^{-7}10−7 。

对于 40%的测试数据，满足 N ≤ 10；

对于 60%的测试数据，满足 N ≤ 1 000；

对于 100%的测试数据，满足 N ≤ 100 000；

对于 100%的测试数据，满足：

0 < AKA_KAK ≤ 10；

0 < BKB_KBK ≤ 10；

0 < RateKRate_KRateK ≤ 100

MaxProfit ≤ 10910^9109 ；

输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。

必然存在一种最优的买卖方案满足：

每次买进操作使用完所有的人民币；

每次卖出操作卖出所有的金券。

不清楚文章所说的快速读入是？我wa了很久.. 根据原题中的hint提示 我只有在某天操作的时候全部买入或者全部卖出才好 为什么 假设我这个点卖出的价格最优那我为什么要在其他点卖出同理 买入也相同对于任意一天，一定是贪心地买入所有货币或者卖出所有货币是最优的，因为有便宜我们就要尽量去占，有亏损就一点也不去碰。于是我们得到方程 设f[i]表示第i天的最大收益 我们每次dp转移的时候用的其实是用这最大收益全部去买券之后然后转移 设a[i]表示第i天a券的单价 设b[i]同理 A[i]表示第i天收益全部卖出券的收益即最大A券数量 因为B和A有关系 所以A最大的同时B也最大 那么不妨假设f[i]=max{f[i-1] (什么也不操作) ,A[j]*a[i]+B[j]*b[i]} 即需要选择一个最优的A,B的点对来满足我的要求 将原式化简得到B关于A的表达式 那么可以看出是一个斜率为负的一次函数 为了使得答案最大即使得该函数的y轴截距最大 怎么搞 那么我肯定是由前面的决策点转移过来的 那么我针对前面的决策点维护一个凸包 然后每次找到相切的地方就是我要的答案 怎么找：cdq分治 首先按照斜率排序 这样的话假的满足条件 然后对于每个l==r的情况 说明我前面该影响我的都做过了 我就更新答案即可 把我这个答案的影响算成二维平面的点 方便更新后面的点 然后首先在保证原有斜率顺序不变的情况下 按照id 小的放在前面 这样既满足我想要的单调性 同时左边的答案才可能影响到右边的答案 然后cdq分治下去去搞 做完左边之后就得因为右边也是斜率递降所以我可以o(n)扫 获得我的答案 最后在归并排序两段的时候按照x排序即横坐标排序 这样我上一层分治的时候可以沿着这个顺序构造凸包在凸包上搞

#include#include#include#define N 110000#define eps 1e-8#define inf 1e10using namespace std;double f[N];struct node{ double x,y,k,a,b,rated;int id;}p[N],tmp[N];int n,q[N];inline bool cmp(node a,node b){return a.k>b.k;}inline double slope(int a,int b){ if (fabs(p[a].x-p[b].x)>1;int st1=l,st2=mid+1; for (int i=l;i<=r;++i) if (p[i].id<=mid) tmp[st1++]=p[i];else tmp[st2++]=p[i]; for (int i=l;i<=r;++i) p[i]=tmp[i];cdq(l,mid);int top=0; for (int i=l;i<=mid;++i){ while(top>1&&slope(q[top-1],q[top])p[i].k) ++j; f[p[i].id]=max(f[p[i].id],p[i].a*p[q[j]].x+p[i].b*p[q[j]].y); }cdq(mid+1,r);st1=l;st2=mid+1; for (int i=l;i<=r;++i) if (st1<=mid&&(st2>r||p[st1].x

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